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Satzgruppe des Pythagoras
Wie im Artikel Höhensatz ausgeführt, lässt sich der Höhensatz auch als Spezialfall des Sehnensatzes auffassen. Ebenso lässt sich der Kathetensatz als …
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Die Satzgruppe im rechtwinkligen Dreieck
Die Satzgruppe des Pythagoras umfasst drei äquivalente Sätze für Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken: den Satz des Pythagoras, den Kathetensatz des Euklid und den Höhensatz des Euklid. Äquivalent bedeutet hier: Ist einer der drei Sätze bewiesen, dann gelten auch die beiden anderen.
Bezeichne a und b als Katheten, also die Seiten am rechten Winkel, und c als Hypotenuse, also die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite. Die Höhe h auf die Hypotenuse teilt c am Lotfußpunkt in die Hypotenusenabschnitte p und q. Es gilt daher p+q=c.
Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten. Für die Seitenlängen a, b und c lautet die Formel:
a²+b²=c².
Der Satz beschreibt also sowohl eine Flächenbeziehung zwischen drei Quadraten als auch eine Beziehung zwischen den Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks.
Katheten- und Höhensatz
Der Kathetensatz verknüpft jede Kathete mit ihrem zugehörigen Hypotenusenabschnitt. Das Quadrat über a ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c; das Quadrat über b ist flächengleich zum Rechteck mit den Seiten q und c. Daher gilt:
a²=p·c
b²=q·c.
Der Höhensatz besagt: Das Quadrat über der Höhe h ist flächengleich zum Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten p und q. Die Formel lautet:
h²=p·q.
Auch die Umkehrung gilt: Gilt der Höhensatz in einem Dreieck, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig.
Algebraische Herleitungen
Der Höhensatz kann aus dem Satz des Pythagoras und der binomischen Formel hergeleitet werden. Für das große Dreieck und die beiden durch die Höhe entstehenden rechtwinkligen Dreiecke gilt:
a²+b²=c²
h²+p²=a²
h²+q²=b².
Da p+q=c ist, gilt außerdem (p+q)²=c² und damit p²+2pq+q²=c². Setzt man diese Beziehungen ein, erhält man 2h²=2pq und nach Division durch zwei h²=pq.
Der Kathetensatz folgt analog aus denselben Formeln. Beispielsweise ergibt sich a²=pc; entsprechend gilt b²=qc. Ist der Höhensatz bereits bekannt, ist die Rechnung kürzer: Aus a²=p²+h² und h²=pq folgt a²=p²+pq=p(p+q)=pc. Analog erhält man b²=q²+pq=q(q+p)=qc.
Geometrische und weitere Beweiswege
Ein Ergänzungsbeweis des Höhensatzes verwendet zwei rechtwinklige Teildreiecke mit den Seiten p und h beziehungsweise q und h. Diese können einmal an ein Quadrat der Seitenlänge h und einmal an ein Rechteck mit den Seiten p und q angelegt werden. In beiden Anordnungen entstehen kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten p+h und q+h. Weil die beiden Anordnungen zusätzlich dieselben Teildreiecke enthalten, müssen die übrigen Flächen gleich sein: h²=pq.
Beim Scherungsbeweis wird genutzt, dass sich die Fläche eines Rechtecks beim Scheren zu einem Parallelogramm nicht verändert. Damit kann der Höhensatz veranschaulicht werden. Der Scherungsbeweis des Satzes des Pythagoras beweist zugleich den Kathetensatz.
Ähnliche Dreiecke liefern unmittelbar beide Kathetensätze und den Höhensatz; durch Addition der Kathetensätze folgt anschließend der Satz des Pythagoras.
Auch Kreissätze ermöglichen Herleitungen: Der Höhensatz ist ein Spezialfall des Sehnensatzes. Der Kathetensatz ist ein Spezialfall des Sekanten-Tangenten-Satzes; daraus folgt beispielsweise BC²=BA·BD, also a²=cp. Der Satz des Pythagoras kann daraus durch Addition beider Kathetensätze folgen. Direkt ergibt der Sekanten-Tangenten-Satz bei einem Kreis mit Radius a:
b²=(c-a)·(c+a)=c²-a²,
also a²+b²=c².