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Wikipedia · einfach zusammengefasst · Stand

Höhenfußpunktdreieck

Das Höhenfußpunktdreieck ist das zum Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) gehörige Fußpunktdreieck. Höhenfußpunktdreieck mit Höhenfußpunkten H a, H b und H c …

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Inhalt4 Abschnitte
  1. 1. Definition und Sonderfall
  2. 2. Beziehung zum Referenzdreieck
  3. 3. Ähnlichkeiten und weitere Eigenschaften
  4. 4. Fagnano-Problem

Definition und Sonderfall

Das Höhenfußpunktdreieck, seltener orthisches Dreieck, gehört zur Dreiecksgeometrie. Es entsteht aus den drei Fußpunkten der Höhen eines Referenzdreiecks: Hₐ, Hᵦ und H𝑐. Ein Höhenfußpunkt ist der Schnittpunkt, an dem das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite trifft. Verbindet man Hₐ, Hᵦ und H𝑐, erhält man das Höhenfußpunktdreieck.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist es entartet: Zwei Höhenfußpunkte fallen zusammen. Das Höhenfußpunktdreieck ist das Fußpunktdreieck des Höhenschnittpunkts, auch Orthozentrum genannt.

Beziehung zum Referenzdreieck

Jede Höhe des ursprünglichen Dreiecks halbiert entweder einen Innenwinkel oder einen Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Bei einem spitzwinkligen Dreieck ABC ist der Höhenschnittpunkt H zugleich der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ABC entspricht H dagegen einem der Ankreismittelpunkte des Fußpunktdreiecks.

Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks ist der Feuerbach-Kreis des ursprünglichen Dreiecks.

Ähnlichkeiten und weitere Eigenschaften

Die Dreiecke AHᵦH𝑐, BHₐH𝑐 und CHₐHᵦ sind jeweils ähnlich zum Referenzdreieck ABC, haben aber unterschiedliche Orientierung.

Die Euler-Geraden dieser drei Dreiecke schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Dieser Punkt liegt auf dem Feuerbachkreis des Referenzdreiecks ABC.

Das Tangentendreieck QₐQᵦQ𝑐 des Referenzdreiecks ABC ist ähnlich zum Höhenfußpunktdreieck HₐHᵦH𝑐. Entsprechende Seiten sind parallel: QₐQᵦ ∥ HₐHᵦ, QᵦQ𝑐 ∥ HᵦH𝑐 und QₐQ𝑐 ∥ HₐH𝑐.

Fagnano-Problem

Für ein spitzwinkliges Dreieck gilt: Unter allen Dreiecken, die diesem Dreieck einbeschrieben sind, besitzt das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang.

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