Kinematik

Grundidee der Kinematik

Die Kinematik ist ein Gebiet der Mechanik, das Bewegungen von Körpern rein geometrisch beschreibt. Sie verwendet dafür die Größen Ort, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Kräfte, Masse und daraus abgeleitete Größen wie Impuls oder Energie werden nicht betrachtet. Die Kinematik beschreibt also, wie sich ein Körper bewegt. Warum er sich bewegt, also welche Kräfte wirken, gehört zur Kinetik.

In der Physik steht die Kinematik neben der Dynamik, während die Kinetik als Teilgebiet der Dynamik gilt. In der Technischen Mechanik werden Kinematik und Kinetik beide als Teilgebiete der Dynamik eingeordnet. Der Begriff „Kinematik“ wurde 1834 von André-Marie Ampère geprägt.

Bezugssysteme und Koordinaten

Bewegung wird immer in einem Bezugssystem beschrieben. Ein Bezugssystem ist der physikalische Rahmen, von dem aus man Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung angibt. Diese Größen hängen von der Wahl des Bezugssystems ab: Ein Zug ist für einen Beobachter am Bahnsteig bewegt, für einen Fahrgast im Zug aber in Ruhe. Auch die scheinbare Bewegung der Sonne hängt vom gewählten Blickpunkt ab.

Es gibt Ruhesysteme, bewegte Bezugssysteme und beschleunigte Bezugssysteme. Besonders wichtig sind Inertialsysteme. Das sind Bezugssysteme, die ruhen oder sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, also ohne Rotation und ohne Beschleunigung. In ihnen gilt das erste Newtonsche Gesetz: Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. In beschleunigten Bezugssystemen treten dagegen Scheinkräfte auf. Die Erde ist wegen ihrer Drehung um die eigene Achse und um die Sonne kein echtes Inertialsystem, kann aber für viele praktische Aufgaben näherungsweise als ruhend betrachtet werden.

Koordinatensysteme sind mathematische Mittel, um ein Bezugssystem zu beschreiben. Häufig verwendet man kartesische Koordinaten mit senkrecht aufeinander stehenden Achsen, besonders für geradlinige Bewegungen. Für Drehbewegungen in einer Ebene eignen sich Polarkoordinaten, vor allem wenn der Ursprung im Mittelpunkt der Drehbewegung liegt. Im dreidimensionalen Raum nutzt man auch Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten. Aus der Sicht eines Fahrers kann ein begleitendes Dreibein, also natürliche Koordinaten, sinnvoll sein. Verschiedene Koordinatensysteme können durch Koordinatentransformation ineinander umgerechnet werden.

Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck

Die zentralen Größen der Kinematik sind Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung; zusätzlich kann der Ruck betrachtet werden. Sie sind über zeitliche Änderungen verbunden: Die zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit, die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung, und die zeitliche Änderung der Beschleunigung ist der Ruck. Bei Drehbewegungen verwendet man entsprechend Drehwinkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung. Diese Größen sind Vektoren, sie besitzen also einen Betrag und eine Richtung.

Der Ort eines punktförmigen Körpers wird häufig durch den Ortsvektor r beschrieben. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung zu dem Punkt, an dem sich der Körper befindet. In kartesischen Koordinaten können die Komponenten als x(t), y(t) und z(t) angegeben werden. Die Bewegung ordnet einem Teilchen zu jedem Zeitpunkt t einen Ort zu und bildet damit sein Weg-Zeit-Gesetz.

Die mittlere Geschwindigkeit ist definiert als v = Δs / Δt, wenn in der Zeit Δt der Weg Δs zurückgelegt wird. Die Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung des Orts nach der Zeit: v(t) = dr(t)/dt = ṙ(t). In kartesischen Koordinaten bestehen die Komponenten aus den Zeitableitungen der Ortskoordinaten: vx(t) = dx/dt, vy(t) = dy/dt und vz(t) = dz/dt. Der Geschwindigkeitsvektor zeigt tangential zur Bahnkurve.

Die mittlere Beschleunigung ist a = Δv / Δt. Die Momentanbeschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit und zugleich die zweite Ableitung des Ortes: a(t) = dv(t)/dt = v̇(t) = r̈(t). Der Beschleunigungsvektor kann in eine tangentiale und eine normale Komponente zerlegt werden. Die Tangentialbeschleunigung beschreibt die Änderung des Geschwindigkeitsbetrags. Die Normalbeschleunigung beschreibt die Änderung der Bewegungsrichtung und hängt mit der Krümmung der Bahn zusammen; sie kann als a⊥ = |v|²/R · e⊥ angegeben werden, wobei R der Krümmungsradius ist.

Der Ruck ist die zeitliche Änderung der Beschleunigung. Für den mittleren Ruck gilt j = Δa / Δt. Der momentane Ruck ist j(t) = da/dt = ȧ(t) = v̈(t) = r⃛(t). Nach der in der Physik üblichen Definition hätte eine gleichförmige Kreisbewegung konstanten Ruck. In Technik und Alltag gilt sie jedoch oft als ruckfrei; dort wird der Beschleunigungsvektor in ein körperfestes Koordinatensystem transformiert und dort abgeleitet. Diese Sicht ist zum Beispiel beim Querruck von Schienenfahrzeugen wichtig.

Bewegungsarten und Freiheitsgrade

Bewegungen lassen sich nach verschiedenen Kriterien einteilen. Ein Sonderfall ist Ruhe, also Geschwindigkeit null. Eine grundlegende Unterscheidung ist die Bewegung entlang einer Geraden, auch Verschiebung oder Translation genannt, und die Drehung, Kreisbewegung oder Rotation.

Nach der Beschleunigung unterscheidet man gleichförmige Bewegung und gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Bei einer gleichförmigen Bewegung gilt a = 0, die Geschwindigkeit ist konstant. Bei einer gleichförmigen Drehbewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit behält seine Richtung bei, obwohl sich die Bewegungsrichtung ständig ändert. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung ist die Beschleunigung konstant, also a = konst.; die Geschwindigkeit nimmt mit konstanter Rate zu oder bei negativer Beschleunigung ab. Der freie Fall gehört dazu, weil konstant die Erdbeschleunigung wirkt. Der schräge Wurf kombiniert eine gleichförmige Bewegung in waagerechter Richtung mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in senkrechter Richtung, sofern der Luftwiderstand vernachlässigt wird.

Außerdem unterscheidet man freie und gebundene Bewegung. Bei freier Bewegung ist der Körper nicht eingeschränkt, etwa ein Flugzeug. Bei gebundener Bewegung begrenzen Zwangsbedingungen die Möglichkeiten, zum Beispiel kann ein Zug nur entlang der Gleise fahren.

Die Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers heißen Freiheitsgrade. Ein punktförmiger Körper, der sich frei im dreidimensionalen Raum bewegen kann, hat drei Freiheitsgrade. In einer Ebene hat er zwei, entlang einer Kurve oder Geraden nur einen. Eingeschränkte Freiheitsgrade heißen Bindungen. Ein ausgedehnter starrer Körper kann zusätzlich um körpereigene Achsen rotieren und hat deshalb drei weitere Freiheitsgrade. Deformierbare Körper wie biegsame Balken, Flüssigkeiten und Gase haben unendlich viele Freiheitsgrade.

Relativbewegung und starre Körper

Relativbewegung beschreibt die Bewegung eines Objekts in einem Bezugssystem, das selbst gegenüber einem anderen System bewegt oder beschleunigt ist. Für Größen im Basissystem verwendet man die normale Schreibweise, für Größen im bewegten Bezugssystem denselben Buchstaben mit Apostroph, zum Beispiel r′ für Relativposition, v′ für Relativgeschwindigkeit und a′ für Relativbeschleunigung.

Wenn das bewegte Bezugssystem rotiert, müssen seine Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α = ω̇ berücksichtigt werden. Für die Position gilt r = rO + r′. Für die Geschwindigkeit gilt v = vO + ω × r′ + v′. Für die Beschleunigung ergibt sich a = aO + ω × (ω × r′) + ω̇ × r′ + 2ω × v′ + a′. Ist das Basissystem S ein Inertialsystem, kann die Absolutbeschleunigung in die Newtonsche Bewegungsgleichung m a = F eingesetzt werden; daraus erhält man die Bewegungsgleichung für die Relativbewegung.

Bei einem starren Körper bleibt der Vektor rP zu einem Punkt P im körperfesten Bezugssystem konstant. Die Bewegung dieses Punktes im Basissystem ergibt sich aus Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des Bezugspunktes sowie aus der Rotation des Körpers: r = rO + rP, v = vO + ω × rP und a = aO + ω × (ω × rP) + ω̇ × rP.

Mehrkörpersysteme und Anwendungen

Die Kinematik wird besonders bei Mehrkörpersystemen eingesetzt, also bei Systemen aus mehreren starren Körpern, die durch Gelenke miteinander verbunden sind. In der Absolutkinematik betrachtet man dazu Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers j relativ zu einem Körper i. Diese Relativbewegung kann durch Gelenk-Koordinaten, also verallgemeinerte Koordinaten, und deren Ableitungen beschrieben werden. Die Bewegungsgrößen des Körpers i im Inertialsystem werden dabei als bekannt vorausgesetzt.

Anwendungen finden sich bei räumlichen Mechanismen, die aus Gelenken und Verbindungen aufgebaut sind. Beispiele sind Roboter, kinematische Ketten und Radaufhängungen in der Automobilindustrie. Mit kinematischen Methoden, in der Robotik etwa der Direkten Kinematik, bestimmt man die Anzahl der Freiheitsgrade sowie Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aller Körper in Abhängigkeit von den verallgemeinerten Koordinaten. Die kinematische Analyse ist eine Vorstufe zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen, zum Beispiel nach dem d’Alembertschen Prinzip.