Arithmetisch-geometrisches Mittel

Was ist das arithmetisch-geometrische Mittel?

Das arithmetisch-geometrische Mittel (abgekürzt oft agm) ist eine Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel zweier positiver reeller Zahlen liegt. Es ist in der Mathematik wichtig, weil es sehr schnell berechnet werden kann, eine enge Verbindung zu elliptischen Integralen hat und sogar für schnelle Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl π verwendet wird.

Definition durch zwei Folgen

Man startet mit zwei nichtnegativen reellen Zahlen a₀ = a und b₀ = b und bildet daraus zwei Folgen: Das arithmetische Mittel a_{n+1} = (a_n + b_n)/2 und das geometrische Mittel b_{n+1} = √(a_n · b_n). Beide Folgen konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert M(a,b). Dieser Grenzwert heißt das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b. (Warum die Grenzwerte existieren und gleich sind, wird über die Monotonie gezeigt.)

Einfaches Beispiel

Startwerte: a₀ = 4, b₀ = 9. Dann gilt: a₁ = (4+9)/2 = 6,5 und b₁ = √(4·9) = 6. Weiter: a₂ = 6,25 und b₂ ≈ 6,245. Schon beim dritten Schritt gilt a₃ ≈ b₃ ≈ M(a,b) ≈ 6,2475. Man sieht: Die beiden Folgen liegen sich sehr schnell nahe, das Verfahren konvergiert also rasch.

Eigenschaften und Konvergenzbeweis

Einfache Eigenschaften: M(a,b) = M(b,a) (symmetrisch) und M(ta,tb) = t·M(a,b) für t ≥ 0 (homogen vom Grad 1). Es gilt die Ungleichungskette min{a,b} ≤ √(ab) ≤ M(a,b) ≤ (a+b)/2 ≤ max{a,b}, wobei Gleichheit genau für a = b eintritt. Außerdem gilt M(a,b) = M((a+b)/2, √(ab)).

Warum konvergieren die Folgen?

Für positive Startwerte 0 < b₀ < a₀ folgt aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets b_n < a_n. Die Folge b₀, b₁, b₂, ... ist dann monoton wachsend und durch a₀ nach oben beschränkt, konvergiert also gegen einen Grenzwert β. Die Folge a₀, a₁, a₂, ... ist monoton fallend und nach unten beschränkt, konvergiert also gegen einen Grenzwert α. Es gilt: b₀ < b₁ < ... < β ≤ α < ... < a₁ < a₀. Geht man in der Definitionsgleichung a_{n+1} = (a_n + b_n)/2 zum Grenzwert über, erhält man α = (α + β)/2, woraus α = β folgt. Beide Grenzwerte sind also gleich, und dieser gemeinsame Wert ist M(a,b). Konvergenzgeschwindigkeit: Mit c_n = √(a_n² − b_n²) gilt die Abschätzung c_{n+1} = ½(a_n − b_n) = c_n²/(4a_{n+1}) ≤ c_n²/M(a,b). Das Verfahren hat quadratische Konvergenz: die Genauigkeit verbessert sich mit jedem Schritt sehr stark.

Alternative Darstellung der Folgen

Man kann die beiden Folgen auch voneinander entkoppeln, also jede Folge für sich berechnen. Mit a₀ = a, b₀ = b, a₁ = (a₀+b₀)/2 und b₁ = √(a₀b₀) gilt: a_n = (a_{n−1} + √((2a_{n−1} − a_{n−2})·a_{n−2}))/2 sowie b_n = √(b_{n−1}·(b_{n−1}² + b_{n−2}²)/(2b_{n−2})). Jede Folge braucht dafür die beiden vorherigen eigenen Werte, aber nicht mehr die jeweils andere Folge.