Harmonisches Mittel

Grundidee und Definition

Das harmonische Mittel ist ein Mittelwert für eine Menge von Zahlen. Es wird besonders verwendet, um den Mittelwert von Verhältniszahlen zu berechnen, also von Größen, die als Quotient zweier Größen entstehen. Es ist der Spezialfall des Hölder-Mittels mit Parameter −1. Ein wichtiger Zweck ist, dass einzelne extrem hohe Messwerte den Mittelwert nicht zu stark beeinflussen.

Für n Zahlen x_1, ..., x_n ist das harmonische Mittel definiert als: {\bar{x}}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dotsb+\frac{1}{x_n}}.

Diese Formel ist zunächst nur für Zahlen x_i definiert, die nicht null sind, weil sonst ein Kehrwert \frac{1}{x_i} nicht gebildet werden kann. Wenn aber einer der Werte gegen null geht, existiert der Grenzwert des harmonischen Mittels und ist ebenfalls null. Deshalb ist es sinnvoll, das harmonische Mittel als null zu definieren, sobald mindestens eine der zu mittelnden Größen gleich null ist.

Wichtige Eigenschaften

Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist das arithmetische Mittel der Kehrwerte: \frac{1}{{\bar{x}}_{\text{harm}}} = \frac{\frac{1}{x_1}+\dotsb+\frac{1}{x_n}}{n}. Das arithmetische Mittel ist der gewöhnliche Durchschnitt, hier also der Durchschnitt der Kehrwerte.

Für zwei Werte a und b ergibt sich: {\bar{x}}_{\text{harm}} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b}. Außerdem gilt für zwei Werte der Zusammenhang {\bar{x}}_{\text{harm}} = \frac{{\bar{x}}_{\text{geom}}^2}{{\bar{x}}_{\text{arithm}}}, wobei {\bar{x}}_{\text{geom}} das geometrische Mittel und {\bar{x}}_{\text{arithm}} das arithmetische Mittel bezeichnet.

Für nichtnegative Zahlen x_i gilt die Reihenfolge: \min(x_1,\dotsc,x_n) \leq {\bar{x}}_{\text{harm}} \leq {\bar{x}}_{\text{geom}} \leq {\bar{x}}_{\text{arithm}} \leq \max(x_1,\dotsc,x_n). Das harmonische Mittel liegt also zwischen dem kleinsten Wert und dem geometrischen Mittel und ist höchstens so groß wie das arithmetische Mittel.

Rechenbeispiele

Für die Zahlen 5 und 20 ist das harmonische Mittel: \frac{2}{\frac{1}{5}+\frac{1}{20}} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8. Mit der Formel für zwei Werte erhält man ebenfalls: \frac{2\cdot 5\cdot 20}{5+20} = 8.

Für zwei benachbarte natürliche Zahlen n und n+1 ergibt sich als harmonisches Mittel: n + \frac{n}{2n+1}. Für n = 0, 1, 2, 3 usw. erhält man die Werte 0, 1+\frac{1}{3}, 2+\frac{2}{5}, 3+\frac{3}{7} usw. Diese Mittel spielen eine Rolle beim Dean-Verfahren, einem Sitzzuteilungsverfahren.

Gewichtete Form

Beim gewichteten harmonischen Mittel haben die Werte x_i positive Gewichte w_i > 0. Ein Gewicht gibt an, wie stark ein einzelner Wert in den Mittelwert eingeht. Die Definition lautet: {\bar{x}}_{\mathrm{harm}} = \frac{w_1+\cdots+w_n}{\frac{w_1}{x_1}+\cdots+\frac{w_n}{x_n}}.

Wenn alle Gewichte w_i gleich sind, erhält man wieder das gewöhnliche harmonische Mittel.

Durchschnittsgeschwindigkeit

Ein typisches Anwendungsbeispiel ist die Durchschnittsgeschwindigkeit. Benötigt man für eine Teilstrecke s_1 die Zeit t_1 und hat dort die Durchschnittsgeschwindigkeit v_1=s_1/t_1, und für eine zweite Teilstrecke s_2 die Zeit t_2 mit v_2=s_2/t_2, dann gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die gesamte Strecke: v=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{t_1v_1+t_2v_2}{t_1+t_2}.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist also das mit den Wegstrecken gewichtete harmonische Mittel der Teilgeschwindigkeiten. Zugleich ist sie das mit der benötigten Zeit gewichtete arithmetische Mittel der Teilgeschwindigkeiten.

Fährt man eine Stunde mit 50 km/h und danach eine Stunde mit 100 km/h, legt man insgesamt 150 km in 2 Stunden zurück. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 75 km/h, also das arithmetische Mittel von 50 und 100. Fährt man dagegen 100 km mit 50 km/h und danach 100 km mit 100 km/h, legt man 200 km in 3 Stunden zurück. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt dann etwa 66,67 km/h, also das harmonische Mittel von 50 und 100: \frac{200\,\text{km}}{3\,\text{h}} \approx 66{,}67\,\text{km/h}.