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Grundlagen Vektoren (Analytische Geometrie)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 52 Zeilen
- [Musik] Vektoren erklärt von den Simple Maths. Der sonst immer so freundlich grinsende Jan ist heute nicht gut gelaunt.
- Okay, er grinst irgendwie immer noch so komisch. Aber egal. Er steht kurz vor dem Abi und muss die analytische Geometrie wiederholen. Auf jeden Fall
- hat er seit letztem Jahr alle Grundlagen vergessen. Was zum Teufel soll bitte ein Vektor sein? Mit diesem Video versuchen wir es ihm
- und natürlich auch dir etwas näher zu bringen. Dunkel erinnert sich Jan, dass die Geometrie während der Schulzeit auf
- einmal nicht mehr zwei, sondern drei Koordinatenachsen hat. What the man? Deswegen zeigen wir dir, was du beachten
- musst, wenn du so ein 3D Koordinatensystem zeichnest. Grob sieht es so aus. Zwei Kästchen entsprechen wie gewohnt 1 cm.
- Die Achsenbeschriftung sieht so aus. Da, wo vorher die X-Achse war, ist jetzt die X2A und da, wo die Y-Achse war, ist jetzt
- die X3 Achse. So sind zumindest die Beschriftungen, wie man sie in der Schule lernt. Warum? Kein Plan. Was dazu kommt, ist die X1 Achse, die schräg nach
- links unten verläuft. Wenn man sich das Ganze aber dreidimensional vorstellt, dann haben alle drei Achsen zueinander einen
- rechten Winkel. Man könnte also einen Würfel an den Ursprung legen und alle drei Achsen würden perfekt an Länge, Breite und Höhe des Würfels anliegen.
- Die x2 und die X3 Achse werden wie im zweidimensionalen Raum beschriftet. Zwei Kästchen sind also 1 cm. Wichtig ist die X1 Achse, dort ist die Skalierung
- anders. Ein Kästchen schräg vor entspricht an diesem 1 cm. Ganz wichtig merken ist wegen der Perspektive, ne? Zurück zu
- unserem Koordinatensystem. Ganz wichtig ist dieser Punkt. Das ist der Ursprung. Er wird oft mit dem Buchstaben O angegeben.
- Seine Koordinaten sind 0 0 und 0. Hier entspricht der Punkt O gerade dem Punkt A. Wir sehen also, die Koordinaten von
- Punkten schreiben wir in eine Zeile. Jan hat jetzt den Punkt B45 gegeben und soll ihn in das Koordinatensystem einzeichnen.
- Die erste Koordinate eines Punkts ist immer die x1 Koordinate, die zweite die X2 Koordinate und die dritte ist die richtig X3 Koordinate.
- Die x1 Koordinate ist also 4. Deshalb gehen wir dort vier auf der X1 Achse nach vorne, dann noch fünf in die x2 Richtung und fünf nach oben, also in die
- x3 Richtung. Dann ist Jan beim Punkt B und kann ihn dementsprechend einzeichnen. Noch wichtiger als Punkte im Raum sind
- Vektoren. Wir stellen das hier nur zweidimensional da. Das Ganze lässt sich aber dementsprechend auch auf den Raum
- übertragen. Wir stellen uns vor, dass wir den Weg vom Punkt A zu einem Punkt B beschreiben wollen. Genau das macht ein Vektor. Er
- ist praktisch das Navigationssystem von einem Punkt zu einem anderen. Wir können uns einen Vektor als Pfeil vorstellen. Diese Pfeile haben eine bestimmte
- Richtung und eine bestimmte Länge. Z.B. hat Jtor A52. Wichtig ist, dass man, wenn man einen Vektor schreibt, über den Buchstaben
- einen kleinen Pfeil macht. Außerdem werden die Koordinaten von Vektoren übereinander geschrieben. Um den Vektor darzustellen, gehen wir
- fünf nach rechts und zwei nach oben. Der dunklere dicke Pfeil ist dann unser Vektor 52. Er hat also eine bestimmte Länge und
- zeigt in eine bestimmte Richtung, nämlich nach rechts oben. Wir können Vektoren addieren bzw. subtrahieren.
- Addieren wir z.B. ein Vektor 1 2 und den Vektor 1-1 erhalten wir den Vektor 2 1. Mathematisch verrechnen wir einfach die
- einzelnen Zeilen, also 1 + 1 = 2 in der oberen Zeile und in der unteren Zeile 2 - 1 = 1. Rechts sehen wir das. Alter, wenn wir ein Käfer wären und von links
- unten loslaufen würden, könnten wir über den blauen Vektor direkt zum Ziel nach oben kommen. Stattdessen würden wir aber auch zum Ziel kommen, wenn wir zuerst
- den gelben Vektor und dann den violetten Vektor laufen. Wenn man also den gelben Vektor mit dem violetten addiert, gibt es genau den blauen.
- Vektoren kann man auch mit Zahlen multiplizieren. Dabei entsteht ein neuer Vektor. Dreimal den Vektor 2 - 5 1 ergibt dann also 6 - 15 3. Man erkennt
- also, wenn man Vektoren mit Zahlen multipliziert, hier z.B. 3, muss man einfach jede einzelne Zeile des Vektors mit der Zahl, also hier 3,
- multiplizieren. 2* 3 ergibt 6, -5* 3 ergibt -15 und so weiter. Das, was ich beim Vektor dann optisch
- verändert, ist die Länge, nichts die Richtung. Man kann außerdem Vektoren mit Vektoren multiplizieren und kann dann ein Skalar
- erhalten. Okay, das erklären wir euch dann im nächsten Video. Jetzt haben wir aus dem Punkt B den
- Vektor klein B55 gemacht. Im Koordinatensystem eingezeichnet sieht es dann so aus. Der Vektor klein B ist also der gleiche
- Vektor wie der Vektor vom Punkt O zum Punkt B. Wenn man aus den Punkten einfach Vektoren macht bzw. Also, wenn man vom Ursprung einen Vektor zu einem
- Punkt bildet, so heißt der Vektor Ortsvektor. Hätten wir z.B. den Punkt C77, so wäre der Ortsvektor dazu klein C =
- 777. Wir merken uns also für die Schreibweise. Die Koordinaten von Punkten schreiben wir in eine Zeile,
- Vektoren schreiben wir untereinander. Außerdem machen wir dann über den Buchstaben einen kleinen Pfeil und ein ist gleichzeichen, das wir beim Punkt
- nicht machen würden. Vor haben wir gesagt, dass ein Vektor eine Richtung und eine Länge hat. Richtung haben wir jetzt schon
- behandelt. Doch wie bestimmen wir die Länge? Die Länge eines Vektors bezeichnet man als Betrag eines Vektors. Wir machen
- einfach ein Beispiel, dann dürfte klar sein, wie man die Länge bestimmt. Dazu gibt es nämlich einen Trick. Haben wir den Vektor b = 123, dann ist der Betrag
- dieses Vektors wurzel aus 1² + 2² + 3². Zusammenerechnet gibt es dann wzel 14. Um die Länge eines Vektors zu bilden, nimmt man also jede Zeile zum Quadrat
- und addiert sie. Am Ende zieht man dann einfach die Wurzel. Das funktioniert bei Vektoren im Raum, aber auch bei Vektoren im zweidimensionalen Raum.
- Soviel zur Wiederholung der Grundlagen zur analytischen Geometrie. Im nächsten Video erfahrt ihr dann, was es mit dem Skalarprodukt auf sich hat.
- Wenn ihr den gelernten Stoff auch selbst anwenden wollt, findet ihr auf unserer Website zu jedem einzelnen Video extra von uns angefertigte Übungsaufgaben mit
- Lösungswegen. Die Adresse seht ihr am Ende des Videos. Wir sind The Simple Maths und wünschen euch viel Erfolg im Abitur. Wenn euch
- das Video gefallen hat, gibt uns einen Daumen hoch, kommentiert, teilt oder was auch immer. Das Wichtigste ist, wenn ihr immer auf dem neuesten Stand der
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Zum Nachlesen
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KoordinatensystemEin mathematisches Koordinatensystem dient dazu, Punkte mit Hilfe von Zahlen, den Koordinaten, in eindeutiger Weise zu beschreiben.
VektorAddition und Subtraktion · Multiplikation mit einem Skalar · Skalarprodukt · Kreuzprodukt · Spatprodukt · Länge/Betrag eines Vektors · Dyadisches Produkt.
OrtsvektorOrtsvektoren ermöglichen es, für die Beschreibung von Punkten, von Punktmengen und von Abbildungen die Vektorrechnung zu benutzen. Legt man ein kartesisches …