Invariante (Mathematik)

Begriff und Bedeutung

Eine Invariante ist in der Mathematik eine einem Objekt zugeordnete Größe, die sich bei einer passenden Klasse von Veränderungen des Objekts nicht ändert. Invarianten helfen besonders bei Klassifikationsproblemen: Objekte mit unterschiedlichen Invarianten sind wesentlich verschieden. Gilt umgekehrt, dass Objekte mit gleichen Invarianten im Wesentlichen identisch sind, bilden diese Invarianten einen vollständigen Satz von Invarianten beziehungsweise trennende Invarianten.

Verschiebung und Differenz als Invariante

Betrachtet werden Paare (x,y) reeller Zahlen. Erlaubt ist, zu beiden Zahlen dieselbe beliebig gewählte Zahl z zu addieren:

(x,y) ↦ (x',y')=(x+z,y+z).

Die Differenz x−y bleibt dabei unverändert, denn

x'−y'=(x+z)−(y+z)=x−y.

Anschaulich können x und y die Anfangs- und Endpunkte einer Stange bezeichnen, gemessen von einem festen Punkt in der Verlängerung der Stange. Die gemeinsame Addition von z entspricht einer Verschiebung der Stange; x−y beschreibt ihre Länge.

Diese eine Invariante reicht sogar für eine vollständige Klassifikation. Zwei Paare (x₁,y₁) und (x₂,y₂) gehen genau dann durch eine solche Verschiebung auseinander hervor, wenn

x₁−y₁=x₂−y₂.

Gilt diese Gleichheit, setzt man z=x₂−x₁. Dann ist x₁+z=x₂ und außerdem y₁+z=y₂. Paare mit gleicher Differenz gehören daher zur gleichen Klasse erlaubter Modifikationen.

Invarianten in verschiedenen mathematischen Gebieten

Die Dimension eines Vektorraums ist eine Isomorphie-Invariante. Sind V und W isomorphe Vektorräume, stimmen ihre Dimensionen überein. Auch die Umkehrung gilt: Zwei Vektorräume gleicher Dimension, aufgefasst als Kardinalzahl, über einem gemeinsamen Grundkörper sind isomorph.

Die Determinante einer Matrix ist eine Ähnlichkeitsinvariante. Für Matrizen A und B mit B=SAS⁻¹, wobei S invertierbar ist, gilt det(B)=det(A). Die Determinante allein klassifiziert Matrizen unter Ähnlichkeit jedoch nicht vollständig; beispielsweise hat jede Drehung die Determinante 1.

Eine stärkere Invariante ist die Frobenius-Normalform beziehungsweise die Gesamtheit der Invariantenteiler der charakteristischen Matrix xI−A. Dabei ist I die Einheitsmatrix mit derselben Dimension wie A. Diese Daten sind trennende Invarianten der Ähnlichkeitsoperation: Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn sie dieselbe Frobenius-Normalform haben.

In der Topologie sind Bettizahlen und die Euler-Charakteristik Invarianten unter Homöomorphismen, also unter den entsprechenden topologischen Abbildungen.

Invarianten bei Gruppenoperationen und in der Physik

Wirkt eine Gruppe G auf einer Punktmenge X, heißen Punkte x∈X, die unter jedem Gruppenelement unverändert bleiben, Fixpunkte oder G-invariante Punkte. Sie erfüllen

∀g∈G: gx=x.

Auch eine ganze Bahn ist unter der Gruppenoperation invariant. Die Bahn eines Punktes x∈X ist

Gx={y∈X | ∃g∈G: y=gx}.

Sie besteht aus allen Punkten, die aus x durch die Operation eines Elements von G entstehen.

In der theoretischen Physik verbindet das Noether-Theorem Symmetrien der Wirkung mit Invarianten der Zeitentwicklung. Diese Invarianten heißen Erhaltungsgrößen; Beispiele sind Energie, Impuls und Drehimpuls. Viele physikalische Theorien besitzen außerdem relativistische Invarianz, also Invarianz gegenüber Lorentztransformationen. Dazu zählen insbesondere die Maxwellsche Elektrodynamik und die Relativitätstheorien Albert Einsteins. Während mathematische Invarianz auf Axiomatik gegründet ist, beruht diese physikalische Aussage letztlich auf besonders aussagekräftigen Experimenten, etwa dem Michelson-Morley-Experiment zur Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.