David Hilbert – einfach erklärt

Bedeutung und Lebensweg

David Hilbert (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war deutscher Mathematiker, Physiker, Philosoph und Hochschullehrer. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit; Rudolf Fueter nannte ihn 1932 den „Lehrer aller lebenden Mathematiker“.

Hilbert studierte ab dem Sommersemester 1880 Mathematik an der Albertus-Universität Königsberg. Prägend waren besonders der lebenslange Austausch mit Hermann Minkowski und Adolf Hurwitz. 1885 wurde er mit der Arbeit Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen promoviert. Nach einer Studienreise zu Felix Klein in Leipzig und nach Paris habilitierte er sich 1886 in Königsberg. Dort wurde er 1892 Extraordinarius und 1893 Ordinarius.

1895 berief ihn die Universität Göttingen als Professor. Hilbert blieb ihr bis zur Emeritierung 1930 treu und hielt noch bis 1934 Vorlesungen. Er betreute in Göttingen insgesamt 69 Doktoranden, darunter Otto Blumenthal, Felix Bernstein, Hermann Weyl, Richard Courant, Erich Hecke, Hugo Steinhaus und Wilhelm Ackermann. Sechs seiner Doktoranden waren Frauen. Gemeinsam mit Felix Klein setzte er sich für Emmy Noether ein, die als Frau nur schwer einen Lehrauftrag erhalten konnte.

Nach der nationalsozialistischen Machtergreifung 1933 wurden zahlreiche „nicht-arische“ Mathematiker und politisch Andersdenkende aus Göttingen verdrängt, darunter Edmund Landau, Richard Courant, Max Born, Felix Bernstein, Emmy Noether, Otto Blumenthal und Hermann Weyl. Hilbert sagte 1934 über sein Institut: „Das Institut – das gibt es doch gar nicht mehr.“ Er starb 1943 an den Folgen eines Unfalls. Auf seinem Grab steht: „Wir müssen wissen / Wir werden wissen“.

Axiomatische Geometrie und Algebra

Hilbert wollte die Geometrie von anschaulichen Vorstellungen lösen und rein axiomatisch begründen. Axiome sind grundlegende Annahmen, aus denen weitere Aussagen logisch abgeleitet werden. In Grundlagen der Geometrie (1899) formulierte er ein vollständiges Axiomensystem für die euklidische Geometrie. Begriffe wie „Punkt“, „Gerade“ und „Ebene“ sind darin nicht mehr durch Anschauung erklärt, sondern allein durch die Axiome bestimmt.

Eine Geometrie, die Hilberts Axiomensystem erfüllt, ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Isomorphie bedeutet hier: Zwei Strukturen haben dieselben wesentlichen Beziehungen und lassen sich passend aufeinander abbilden. Diese Geometrie ist isomorph zum dreidimensionalen reellen Vektorraum: Vektoren entsprechen Punkten, Nebenklassen eindimensionaler Unterräume entsprechen Geraden, und Abstände werden wie in der analytischen Geometrie mit dem Satz von Pythagoras gemessen.

Bis etwa 1893 arbeitete Hilbert zur Invariantentheorie. Der Hilbertsche Basissatz besagt, dass jedes Ideal in einem Polynomring über einem Körper endlich erzeugt ist. Ein Ideal ist dabei eine besondere Teilmenge eines Rings, die unter Addition sowie Multiplikation mit Ringelementen abgeschlossen ist; endlich erzeugt heißt, dass endlich viele Elemente zur Beschreibung genügen. Sein Nullstellensatz stellt den eindeutigen Zusammenhang zwischen den Nullstellen polynomialer Gleichungen und Polynomidealen her. Damit verband Hilbert Algebra und Geometrie und trug zur Entwicklung der algebraischen Geometrie bei.

In der Zahlentheorie fasste Hilbert 1897 im Zahlbericht Arbeiten von Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind mit eigenen Ideen zusammen. Hilberts Satz 90 behandelt die Struktur bestimmter Körpererweiterungen.

Die 23 Probleme und Grundlagen der Mathematik

Auf dem zweiten internationalen Mathematikerkongress in Paris stellte Hilbert am 8. August 1900 eine Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen vor; zehn davon trug er dort vor. Die Probleme stammen aus verschiedenen Gebieten, etwa Geometrie, Zahlentheorie, Logik, Topologie, Arithmetik und Algebra. Hilbert wählte sie, weil er ihre Lösung für zentrale Fortschritte hielt. Sie prägten die Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.

Nach dem Stand von 2012 gelten 15 Probleme als gelöst, 3 als ungelöst und 5 als prinzipiell unlösbar; bei einigen der letzten spielte eine zu unpräzise Formulierung eine Rolle. Hilberts 2. Problem verlangt einen Beweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome der Arithmetik. Kurt Gödel bewies 1930, dass diese Forderung nicht erfüllbar ist. Als bekanntestes ungelöstes Problem wird Hilberts 8. Problem genannt, die Frage nach den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion.

Hilbert war Begründer und wichtiger Vertreter des Formalismus. Diese Richtung versucht, Mathematik als Arbeit mit klar festgelegten Zeichen, Regeln und Axiomen zu verstehen. Nach der Grundlagenkrise der Mathematik forderte Hilbert Anfang der 1920er Jahre, die Mathematik vollständig auf ein nachweislich widerspruchsfreies Axiomensystem aufzubauen. Dieses Vorhaben heißt Hilbertprogramm; dazu formulierte er den Hilbert-Kalkül, ein formales System für logisches Schließen.

Gödel zeigte mit dem 1930 veröffentlichten Unvollständigkeitssatz, dass das Hilbertprogramm in der von Hilbert beabsichtigten Form nicht durchführbar ist. Dennoch führte es zu einem vertieften Verständnis formaler Systeme, ihrer Grenzen und mathematischer Begriffe. Hilbert wandte sich gegen ein „Ignorabimus“, also die Auffassung, es gebe grundsätzlich unerkennbare Probleme. Sein Forschungsideal fasste er so zusammen: „Wir müssen wissen, und wir werden wissen.“

Analysis und mathematische Physik

In der Variationsrechnung begründete Hilbert das Dirichlet-Prinzip, das Riemann in seinem Abbildungssatz verwendet hatte, genauer. Bei Integralgleichungen schloss er Lücken in Fredholms Beweis der fredholmschen Alternative. Diese Arbeiten wirkten wesentlich auf die Funktionalanalysis ein. Der Hilbert-Raum, ein für die Analysis und Physik wichtiger Funktionenraum mit einer verallgemeinerten Längen- und Winkelstruktur, trägt seinen Namen.

Seit 1912 befasste sich Hilbert intensiv mit Physik, besonders mit Funktionenräumen und partiellen Differentialgleichungen, die heute Grundlagen der mathematischen Physik sind. Zusammen mit Richard Courant entstand ein Buchprojekt: Der erste Band erschien 1924, der zweite 1937. Das Werk wurde als Courant/Hilbert zu einem Grundlagenwerk der mathematischen Physik und war in der Entwicklung der Quantenmechanik eine wichtige Quelle für die benötigte Mathematik.

Hilbert verfolgte außerdem ein Programm zu den axiomatischen Grundlagen der Physik. Er arbeitete zur Allgemeinen Relativitätstheorie und interessierte sich ab etwa 1925 für Quantenmechanik, teilweise gemeinsam mit John von Neumann und Lothar Nordheim. 1928 veröffentlichten Nordheim, Hilbert und von Neumann den Aufsatz Die Grundlagen der Quantenmechanik.

Am 20. November 1915, fünf Tage vor Einstein, reichte Hilbert eine Arbeit zur Allgemeinen Relativitätstheorie ein, die zur einsteinschen Theorie äquivalent war. Die einsteinschen Feldgleichungen standen nicht ausdrücklich darin, waren aber in Hilberts Variationsprinzip enthalten. Hilberts Arbeit erschien nach Einsteins Arbeit. Hilbert beanspruchte nie die Urheberschaft, und einen öffentlichen Prioritätenstreit gab es nicht. Wissenschaftshistoriker diskutierten die Prioritätsfrage unterschiedlich und teils widersprüchlich.

Nachwirkung

Hilberts Wirkung zeigt sich auch daran, dass zahlreiche Begriffe und Sätze seinen Namen tragen. Dazu gehören der Hilbert-Raum, die Hilbertbasis, die Hilbert-Matrix, die Hilbert-Kurve, die Hilbert-Transformation, der Hilbert-Kalkül, Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie, der Hilbertsche Basissatz, der Hilbertsche Nullstellensatz, Hilberts Satz 90, der Hilbert-Schmidt-Operator und der Hilbertwürfel.

Zu seinen wichtigen Veröffentlichungen gehören Grundlagen der Geometrie (1899), Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (1912), Die Grundlagen der Physik (1915), Die Grundlagen der Mathematik (1928), Grundzüge der theoretischen Logik mit Wilhelm Ackermann (1928) und Anschauliche Geometrie mit Stefan Cohn-Vossen (1932).