Gaußsche Summenformel

Grundidee und Dreieckszahlen

Die gaußsche Summenformel, auch „kleiner Gauß“ genannt, gibt die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen an:

1+2+3+4+…+n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.

Die Ergebnisse für n=1,2,3,4,… sind 1, 3, 6, 10, … und heißen Dreieckszahlen. Die Formel ist wichtig, weil sie eine lange Addition durch eine kurze Produktrechnung ersetzt.

Anschauliche Herleitung

Schreibt man die Zahlen von 1 bis n in einer Zeile und darunter in umgekehrter Reihenfolge n bis 1, dann hat jede der n Spalten die Summe n+1. Beide Zeilen zusammen ergeben daher n(n+1). Eine Zeile enthält die Hälfte davon, also \frac{n(n+1)}{2}.

Geometrisch lassen sich die Summanden als Reihen grüner Kästchen zu einem Dreieck anordnen. Ergänzt man ein Quadrat der Seitenlänge n um eine Spalte mit n Kästchen, entsteht ein Rechteck mit n(n+1) Kästchen. Die Hälfte dieses Rechtecks sind genau die grünen Kästchen; ihre Anzahl ist somit \frac{n(n+1)}{2}.

Zwei Beweise

Für n\in\mathbb{N} gilt durch Umordnung:

\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}(n+1-k).

Addiert man beide Darstellungen, erhält man

2\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}(n+1)=n(n+1).

Durch Halbieren folgt \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.

Ein weiterer Beweis verwendet vollständige Induktion. Beim Induktionsanfang stimmt die Formel für n=1: 1=\frac{1(1+1)}{2}. Für den Induktionsschritt nimmt man an, dass 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} gilt. Nach Addition von n+1 ergibt sich:

1+2+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.

Das ist die Formel für n+1. Deshalb gilt sie für alle natürlichen Zahlen.

Verwandte Summen

Aus der Summenformel folgen weitere Formeln:

• Die ersten n geraden Zahlen haben die Summe \sum_{k=1}^{n}2k=n(n+1).
• Die ersten n ungeraden Zahlen haben die Summe \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2.
• Für die ersten n Quadratzahlen gilt \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1). Diese Summe heißt quadratische Pyramidalzahl. Für beliebige positive ganze Exponenten verallgemeinert die Faulhabersche Formel solche Summen.