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Arithmetische Reihe
Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe entsteht durch die Summierung einer arithmetischen Folge.
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Was ist eine arithmetische Reihe?
Eine arithmetische Reihe ist eine spezielle mathematische Reihe, die entsteht, wenn man die Glieder einer arithmetischen Folge (eine Folge, bei der zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern immer der gleiche Abstand d liegt) aufsummiert. Arithmetische Reihen sind normalerweise divergent, außer im Spezialfall einer konstanten Folge. Deshalb interessieren vor allem die Reihenglieder, also die Partialsummen, die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden. Zum Schulstoff gehören vor allem die Formeln zur Berechnung dieser endlichen Summen.
Definition
Sind a1, a2, a3, ... die Glieder einer arithmetischen Folge, so ist die Folge der Partialsummen s1, s2, s3, ... mit s_n = a1 + a2 + ... + a_n eine arithmetische Reihe. Die n-te Partialsumme ist also die Summe der ersten n Glieder der Folge.
Berechnung der Partialsummen
Für die Glieder einer arithmetischen Folge gilt die explizite Formel a_i = a1 + (i-1)d. Setzt man dies in die Summe ein, erhält man zwei wichtige geschlossene Formeln für s_n: Bei Kenntnis von a1 und d gilt s_n = n·a1 + n(n-1)/2 · d. Bei Kenntnis von a1 und an (dem letzten Glied) gilt s_n = n · (a1 + an)/2. Die zweite Formel lässt sich leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes. Die Formeln lassen sich mithilfe der vollständigen Induktion beweisen.
Spezielle Summen
Zwei besonders wichtige Spezialfälle: Die Gaußsche Summenformel für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen (a1 = 1, d = 1) lautet: 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2. Für die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen (a1 = 1, d = 2) gilt: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n².
Arithmetische Reihen höherer Ordnung
Der Begriff lässt sich auf arithmetische Folgen höherer Ordnung verallgemeinern: Eine Reihe heißt arithmetische Reihe höherer Ordnung, wenn sie durch Summierung einer arithmetischen Folge höherer Ordnung entsteht. Wichtige Formeln: Die Summe der ersten n Quadratzahlen ist 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6. Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist 1³ + 2³ + ... + n³ = (n(n+1)/2)². Im allgemeinen Fall gilt die Faulhabersche Formel für die Summe der ersten n p-ten Potenzen: sie enthält neben dem Term (n+1)^(p+1)/(p+1) eine Summe über die Bernoulli-Zahlen B_k und Binomialkoeffizienten.