Carl Friedrich Gauß

Bedeutung und Lebensweg

Johann Carl Friedrich Gauß (* 30. April 1777 in Braunschweig; † 23. Februar 1855 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, Statistiker, Astronom, Geodät, Elektrotechniker und Physiker. Schon zu Lebzeiten galt er wegen seiner außergewöhnlichen wissenschaftlichen Leistungen als „Princeps mathematicorum“, also als Fürst der Mathematiker. Wichtig ist Gauß vor allem, weil seine Arbeiten Grundideen vieler moderner Gebiete lieferten: Zahlentheorie, Statistik, Astronomie, Geodäsie, Differentialgeometrie, Potentialtheorie, Magnetismus und frühe Telegrafie.

Gauß wuchs in einfachen Verhältnissen in Braunschweig auf. Sein mathematisches Talent fiel früh auf. Bekannt ist die Schulgeschichte, nach der er als Kind die Summe der Zahlen von 1 bis 100 sehr schnell berechnet haben soll, indem er Zahlenpaare mit gleicher Summe bildete: 1 + 100, 2 + 99 usw.; 50 Paare mit der Summe 101 ergeben 5050. Diese Idee ist als gaußsche Summenformel bekannt.

Der Herzog Karl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig unterstützte Gauß finanziell. Von 1792 bis 1795 studierte Gauß am Collegium Carolinum in Braunschweig, danach an der Universität Göttingen. 1799 schloss er seine Doktorarbeit an der Universität Helmstedt ab. 1807 wurde er Professor an der Georg-August-Universität Göttingen und Direktor der Sternwarte Göttingen. Später leitete er die Landesvermessung des Königreichs Hannover. In seinen späteren Jahren blieb er wissenschaftlich aktiv; zu seinen wichtigen Schülern gehörten Bernhard Riemann und Richard Dedekind. Gauß starb 1855 in Göttingen.

Grundlagen in Mathematik und Statistik

Gauß leistete grundlegende Beiträge zur reinen Mathematik. Mit 18 Jahren bewies er die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal. Das war die erste bedeutende Erweiterung klassischer euklidischer Konstruktionen seit etwa 2000 Jahren. 1801 veröffentlichte er die „Disquisitiones Arithmeticae“, ein grundlegendes Werk der Zahlentheorie. Zahlentheorie untersucht Eigenschaften ganzer Zahlen. Ein Hauptbeitrag darin war der Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes, das die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen „mod p“ beschreibt, also mit Resten bei Division durch eine Primzahl p.

In seiner Doktorarbeit von 1799 bewies Gauß den Fundamentalsatz der Algebra. Dieser Satz besagt, dass jede algebraische Gleichung mit Grad größer als null mindestens eine reelle oder komplexe Lösung besitzt. Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi; sie erweitern die reellen Zahlen um die imaginäre Einheit i. Gauß nutzte und förderte ihre geometrische Darstellung in der gaußschen Zahlenebene und führte 1831 den Namen „komplexe Zahl“ ein.

Für Statistik und Messfehler war die Methode der kleinsten Quadrate besonders wichtig. Dabei werden Messwerte so ausgewertet, dass die Summe der Quadrate der Abweichungen möglichst klein wird. Gauß entdeckte diese Methode früh, veröffentlichte sie aber erst 1809; Adrien-Marie Legendre hatte sie 1805 publiziert, wodurch ein Prioritätsstreit entstand. Aus diesen Arbeiten hängt auch die Normalverteilung zusammen, die als gaußsche Glockenkurve bekannt ist. Sie beschreibt bei vielen Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Verteilung zufälliger Abweichungen um einen Mittelwert bei genügend großen Datenmengen.

Gauß beschäftigte sich außerdem mit elliptischen Funktionen, die aus Untersuchungen zu elliptischen Integralen hervorgingen, und mit nichteuklidischer Geometrie. Er erkannte, dass Euklids Parallelenaxiom nicht denknotwendig ist, veröffentlichte seine Gedanken dazu aber nicht. Unabhängig arbeiteten später János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski an dieser Geometrie.

Astronomie, Geodäsie und Flächen

Gauß wurde in Europa auch durch seine astronomischen Arbeiten bekannt. Nach der Entdeckung des Zwergplaneten Ceres durch Giuseppe Piazzi am 1. Januar 1801 ging dessen Position am Himmel wieder verloren. Gauß berechnete mit einer neuen indirekten Methode der Bahnbestimmung und mit Ausgleichsrechnungen auf Basis der Methode der kleinsten Quadrate die Bahn so genau, dass Franz Xaver von Zach Ceres am 7. Dezember 1801 und bestätigt am 31. Dezember 1801 wiederfinden konnte. Heinrich Wilhelm Olbers bestätigte die Wiederauffindung unabhängig am 1. und 2. Januar 1802. Gauß’ Erfahrungen flossen 1809 in sein Werk „Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium“ ein.

In der Geodäsie, also der wissenschaftlichen Vermessung der Erde, leitete Gauß von 1820 bis 1826 die Landesvermessung des Königreichs Hannover. Dabei nutzte er die Methode der kleinsten Quadrate und das gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme. Für die praktische Vermessung erfand er den Heliotrop. Dieses Gerät reflektiert Sonnenlicht mit einem Spiegel zu einem fernen Messstandort, sodass weit entfernte Punkte, teils bis zu 100 km und mehr, sichtbar gemacht werden konnten.

Aus der Beschäftigung mit Geodäsie und Karten entwickelte Gauß wichtige Ideen der Differentialgeometrie, also der Geometrie gekrümmter Flächen. Er führte die gaußsche Krümmung ein und bewies das Theorema egregium. Es besagt, dass die gaußsche Krümmung einer Fläche allein durch Messungen innerhalb der Fläche bestimmt werden kann und nicht davon abhängt, wie die Fläche im dreidimensionalen Raum liegt. Daraus folgt unter anderem, dass keine maßstabsgetreue Weltkarte möglich ist.

Physik, Magnetismus und Telegrafie

Ab 1831 arbeitete Gauß eng mit Wilhelm Eduard Weber auf dem Gebiet des Magnetismus zusammen. 1833 entwickelten beide eine elektromagnetische Telegraphenanlage, die Gauß’ Sternwarte mit dem physikalischen Institut über 1100 Meter verband. Die Anlage nutzte Spulen, Magnetstäbe und Leitungen; Bewegungen einer Senderspule erzeugten durch elektromagnetische Induktion einen Stromstoß, der am Empfänger wieder sichtbar gemacht wurde. Buchstaben wurden über einen Binärcode dargestellt, der der Stromrichtung entsprach. Die erste Nachricht ist nicht sicher überliefert: Wahrscheinlich lautete sie „Wissen vor Meinen, Sein vor Scheinen“; nach anderen Quellen kündigte sie die Ankunft eines Dieners an.

Gauß und Weber gehörten damit zu den frühen Entwicklern der elektromagnetischen Telegrafie und wandten sie über eine längere Strecke an. Die kommerzielle Nutzung setzten später andere durch, besonders Samuel Morse in den USA. Gauß erkannte aber bereits Anwendungsmöglichkeiten, etwa für das russische Reich und für Eisenbahnen.

Zusammen mit Weber entwickelte Gauß außerdem das CGS-Einheitensystem, das 1881 auf einem internationalen Kongress in Paris zur Grundlage elektrotechnischer Maßeinheiten bestimmt wurde. Gauß organisierte ein weltweites Netz von Beobachtungsstationen, den Magnetischen Verein, zur Vermessung des Erdmagnetfeldes. In der Elektrizitätslehre fand er 1833 vor Gustav Robert Kirchhoff die später sogenannten Kirchhoffschen Regeln für Stromkreise.

Arbeitsweise und Nachwirkung

Gauß arbeitete auf vielen Gebieten, veröffentlichte aber nur einen Teil seiner Entdeckungen. Sein Motto lautete „Pauca sed Matura“: „Weniges, aber Reifes“. Er wollte Ergebnisse erst veröffentlichen, wenn eine Theorie seiner Meinung nach vollständig ausgearbeitet war. Deshalb erkannte man die volle Reichweite seines Werks erst nach seinem Tod, besonders nach der Entdeckung seines Tagebuchs 1898 und durch die Auswertung seines Nachlasses.

Nach Gauß sind zahlreiche Begriffe, Methoden und Einrichtungen benannt. Dazu gehören unter anderem das gaußsche Eliminationsverfahren, die gaußsche Normalverteilung, der gaußsche Integralsatz, die gaußsche Krümmung, die gaußsche Zahlenebene, die gaußsche Summenformel, die Gauß-Quadratur, das Gaußsche Gesetz der Elektrostatik und die gaußsche Osterformel. Auch Schulen, Forschungseinrichtungen, Schiffe, Berge, ein Mondkrater, ein Asteroid und wissenschaftliche Ehrungen tragen seinen Namen.

Zu seinen wichtigsten Schriften zählen die Doktorarbeit zum Fundamentalsatz der Algebra von 1799, die „Disquisitiones Arithmeticae“ von 1801, die „Theoria motus corporum coelestium“ von 1809, Arbeiten zur Methode der kleinsten Quadrate, zur Theorie gekrümmter Flächen und zum Erdmagnetismus. Viele seiner Werke erschienen auf Latein und wurden später ins Deutsche, Französische oder Englische übersetzt. In der Erinnerungskultur ist Gauß unter anderem durch Denkmäler in Braunschweig und Göttingen, Briefmarken, Münzen und die frühere 10-DM-Banknote präsent, auf der sein Bild zusammen mit der Glockenkurve abgebildet war.