Das Video kommt von YouTube: erst beim Abspielen verbindet sich die Seite mit YouTube (Google).
Beweis durch vollständige Induktion, Prinzip der vollst. Induk., mit Beispiel | Mathe by Daniel Jung
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 33 Zeilen
- so ich habe einmal probiert die vollständige Induktion auf ein Tafelbild zu bekommen es geht wirklich rein um den Ablauf der auch bei den
- schwierigen induktionsbeweisen immer der gleiche ist das Beispiel was ich gewählt habe kennt ihr sicherlich aus der Schule oder lernt es in der Schule kennen im
- Vorkurs Mathematik hält sich der Beweis auch noch von Schwierigkeitsgrat eigentlich in Grenzen und wenn es wirklich in die Tiefe geht dann müsste
- man sich noch mal ein paar zur Übung anschauen jetzt erst mal noch mal rein zum Ablauf ihr braucht einen Induktionsanfang sehen wir gleich was es
- genau bedeutet dann induktionsschritt besteht einmal zweitens aus der Induktionsvoraussetzung der
- induktionsbehauptung und dann der Beweis dass die Behauptung aus der Voraussetzung folgt in Klassiker ist natürlich habe ja auch ein Video drüber
- gemacht wie Gaus mal rausgefunden hat die ersten nnatürlichen Zahlen auf eine schnelle Art und Weise zusammenzuzählen also 1 + 2 + + 3 + 4 + 5 etc + n ist in
- der Formel n + 1 x n dur 2 lasst euch nicht stören von dem Zeichen das ist das Zeichen Summe und heißt nichts anderes so wie es hier jetzt steht Summe aus i
- der ersten Zahl bis n wie viel zahlen auch immer zusammen Ich zusammenzählen soll für n natürliche Zahlen soll in der Kurzform n + 1* n dur 2 sein das gilt
- nun zu beweisen wir machen erstens den Induktionsanfang stellt euch vor ihr setzt für N1 ein dann habt ihr nur die 1 auf der linken Seite ihr habt ja nur
- eine Zahl von den natürlichen Zahlen setzt dann in die schnelle Formel ein kommt auf dasselbe Ergebnis nämlich wieder 1 es stimmt also würdet ihr die
- zwei nehmen dann hättet ihr die ersten beiden Zahlen zusammen zu zählen also 1 + 2 3 oder schnelle Methode auf der anderen Seite 2 eingesetzt für n ergibt
- auch drei stimmt noch ein Beispiel wenn ihr für N3 einsetzen würdet hätten wir die ersten drei natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3
- 6 schnell in die Formel eingesetzt 3 + 1* 3 dur 2 ergibt auch 6 was ihr davon macht ist egal einmal reicht ihr müsst ja nur zeigen für irgendeine Zahl stimmt
- das was da steht nun ist es aber jetzt nicht allein ich damit getan denn wisst ihr ob es für N = 4 5 6 7 8 etc auch gilt deshalb jetzt die
- induktionsschritte die Voraussetzung die Voraussetzung es gilt also für n = K oftmals taucht der Buchstabe K auf für irgendeine Zahl also
- schreiben wir im Prinzip nur das was wir oben schon stehen haben 1 + 2 + 3 + Pünktchen Pünktchen + K ist gleich eben die Formel K + 1* K dur
- 2 die Behauptung ist jetzt es gilt auch für n= K + 1 also allgemein für jeden weiteren Schritt was schreiben wir einfach auf 1 + 2 + 3 + Pünktchen
- Pünktchen + K + auch noch K + 1 jeder weitere Schritt und setzen in der Formel auf der Seite wo wir schnell die Formel haben und rechnen wollen für k k + 1 ein
- für k k + 1 + 1 bleibt noch hier für K auch K + 1 hier zusammengefasst gibt also als Behauptung K + 2* K + 1 dur 2 für alle n K + 1 also jeden weiteren
- Schritt nun für viele die schwierigste Hürde dass die Behauptung aus der Voraussetzung folgt macht einfach folgendes schnappt euch die
- Voraussetzung auf beiden Seiten und ergänzt jeweils am Ende mit K + 1 links müsst ihr nichts mehr tun aber rechts sollte wenn alles gut
- läuft die Behauptung rauskommen was muss ich jetzt hier machen hier kommt jetzt alles aus den vergangenen Jahren zusammen
- z.B ausmultiplizieren hier oben k* K ist k² + 1 x K ist K halbe warum mache ich das sehen wir gleich Plus+ K + 1 was habe
- ich jetzt gemacht hier steht halbe also bringe ich das hier auch auf halbe oben mal 2 hätten wir 2 x K + 1 dur 2 was bringt mir das ich kann jetzt
- alles zusammenfassen k²r hier bin ich k² + K + 2 K + 2 und halbe denn Brüche die gleichnamig sind
- kann ich ja zusammenfassen 1 K und 2K sind 3k bleibt oben übrig k² + 3k + 2 bin ich noch nicht genau da was die Behauptung gesagt hat aber was kann ich
- jetzt hier oben machen um eventuell auf diese Schreibweise zu kommen ist ja nichts anderes jetzt als die Schreibweise das hier in den
- Linearfaktoren also was mache ich ganz einfach der Ausdruck der oben ist null setzen und entweder mit pq Formel quadratische Ergänzung oder Satz von
- vieta lösen folgt - 1 und k- 2 und das könnte ich umschreiben eben in den Linearfaktoren K + 1 mal K + 2 durch 2 diese Schritte hier sind jetzt natürlich
- alles Sachen arithmetische Grundlagen rechnerische Grundlagen aus den letzten Jahren die einzeln noch mal nachschauen müsstet denn jetzt bin ich genau auf die
- Behauptung bekommen und meine vollständige Induktion ist zu Ende ich habe bewiesen dass diese Formel
- stimmt
Zum Nachlesen
Vollständige InduktionDie vollständige Induktion ist eine mathematische Beweismethode, mit der eine Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen wird.
MathematikAn deutschen Universitäten gehört die Mathematik meistens zur selben Fakultät wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der Promotion in der …