Dreieckszahl

Definition und Berechnung

Eine Dreieckszahl ist die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze n. Die n-te Dreieckszahl wird mit Δ_n bezeichnet:

Δ_n = 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 = (n+1 über 2).

Die ersten Werte sind 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … Einige Autoren zählen 0 nicht als Dreieckszahl und beginnen die Folge daher mit 1.

Der Name beschreibt die geometrische Darstellung: Δ_n Punkte oder Steine lassen sich in n Reihen zu einem gefüllten Dreieck anordnen. Beispielsweise ist 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Dreieckszahlen gehören deshalb zu den figurierten Zahlen, also Zahlen, die sich durch geometrische Punktmuster darstellen lassen.

Die Formel Δ_n = n(n+1)/2 folgt anschaulich, indem man zwei gleiche dreieckige „Treppen“ zu einem Rechteck zusammensetzt. Dieses Rechteck ist n Punkte hoch und n+1 Punkte breit, enthält also n(n+1) Punkte. Eine der beiden Treppen enthält die Hälfte davon. Die Formel ist zugleich der Binomialkoeffizient (n+1 über 2).

Grundlegende Eigenschaften

Alle Dreieckszahlen größer als 3 sind zusammengesetzte Zahlen. Außerdem gelten wichtige Beziehungen zu Potenzen und anderen Zahlenfolgen:

• Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist das Quadrat der n-ten Dreieckszahl. Zum Beispiel gilt 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10².

• Daher ist die Differenz der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen eine Kubikzahl.

• Jede gerade vollkommene Zahl ist eine Dreieckszahl. Nach Leonhard Euler hat sie die Form (2^n−1)·2^(n−1), sofern 2^n−1 eine Mersenne-Primzahl ist. Mit m = 2^n ergibt sich (m−1)m/2, also eine Dreieckszahl.

• Die Summe zweier Dreieckszahlen ist niemals kongruent 5 modulo 9. „Modulo 9“ bedeutet, dass nur der Rest bei Division durch 9 betrachtet wird.

• Es gilt Δ_(n+1) = (2n+1) + Δ_(n−1).

• Das Achtfache einer Dreieckszahl plus 1 ist stets das Quadrat einer ungeraden Zahl: 8Δ_n + 1 = (2n+1)².

• Weitere Verdopplungsbeziehungen sind Δ_(2n) = 3Δ_n + Δ_(n−1) und Δ_(2n+1) = 3Δ_n + Δ_(n+1). Außerdem gilt (2n+1)² = Δ_(n−1) + 6Δ_n + Δ_(n+1).

Die n-te Dreieckszahl ist auch die Differenz der n-ten zentrierten Neuneckszahl und der n-ten zentrierten Achteckszahl: Δ_n = (1+3n)(2+3n)/2 − (1+2n)².

Addiert man zu jeder Dreieckszahl 1, erhält man die Zentralpolygonalzahlen, auch Zahlenfolge des faulen Kellners genannt: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, …

Beziehungen zu Quadratzahlen

Zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen ergeben zusammen eine Quadratzahl:

Δ_(n−1) + Δ_n = n(n−1)/2 + n(n+1)/2 = n².

Ein typisches Beispiel ist 10 + 15 = 25, also Δ_4 + Δ_5 = 5².

Umgekehrt lässt sich die n-te Dreieckszahl als alternierende Summe von Quadratzahlen darstellen. Dabei werden die Quadrate von n² bis 1 abwechselnd subtrahiert und addiert:

Δ_n = Σ_(i=1)^n (−1)^(n+i)·i².

Beispiele sind 16−9+4−1 = 10 = Δ_4 und 25−16+9−4+1 = 15 = Δ_5.

Außerdem gilt 4Δ_i + 4Δ_j + 1 = (i−j)² + (1+i+j)². Der Nachfolger der Summe zweier vierfacher Dreieckszahlen ist somit eine Summe zweier Quadratzahlen verschiedener Parität, also einer geraden und einer ungeraden Quadratzahl.

Quadrat-Dreieckszahlen sind Zahlen, die zugleich Quadrat- und Dreieckszahlen sind. Die ersten sind 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900 und 1631432881. Ihre Dreieckszahl-Indizes sind 0, 1, 8, 49, 288, 1681, 9800 und 57121. Für eine solche Zahl muss n = a(a+1)/2 = b² gelten. Weil a und a+1 aufeinanderfolgend und damit teilerfremd sind, ist einer dieser Faktoren eine ungerade Quadratzahl und der andere das Doppelte einer Quadratzahl.

Eine rekursive Berechnung verwendet Basenpaare (k,l): Aus (k·l)² wird ((k+l)·(2k+l))². So entstehen unter anderem (1·1)², (2·3)², (5·7)², (12·17)² und (29·41)². Das Verhältnis k/l nähert sich √2; der Wachstumsfaktor aufeinanderfolgender Quadrat-Dreieckszahlen nähert sich (1+√2)^4 = 17+12√2. Daher gibt es unendlich viele Quadrat-Dreieckszahlen. Sie sind abwechselnd gerade und ungerade und haben modulo 36 abwechselnd den Rest 0 beziehungsweise 1.

Summen, Kehrwerte und Umkehrung

Pierre de Fermat vermutete, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellen lässt. Carl Friedrich Gauß bewies diese Aussage und notierte am 10. Juli 1796: „EYPHKA num = Δ + Δ + Δ.“ Die Verallgemeinerung ist der fermatsche Polygonalzahlensatz.

Die Summe der Kehrwerte aller positiven Dreieckszahlen ist 2:

Σ_(n=1)^∞ 1/Δ_n = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + … = 2.

Dies folgt aus der Zerlegung 1/Δ_n = 2/[n(n+1)] = 2/n − 2/(n+1). Bei der Addition heben sich die benachbarten Terme gegenseitig auf; eine solche Reihe heißt Teleskopsumme. Für die ersten n Glieder ergibt sich Σ_(i=1)^n 1/Δ_i = 2 − 2/(n+1) = 2n/(n+1), und der Grenzwert für n → ∞ ist 2.

Die Dreieckswurzel ist die Umkehrung der Dreieckszahlformel. Für eine Dreieckszahl Δ liefert sie die Zahl ihrer Reihen:

n = (√(8Δ+1)−1)/2.

Für Δ_4 = 10 erhält man n = 4. Mithilfe dieser Formel lässt sich auch die Cantorsche Paarungsfunktion umkehren.

Zentrierte Figuren und Verallgemeinerungen

Bei einer zentrierten Polygonalzahl liegt ein Punkt im Mittelpunkt; darum werden immer größere regelmäßige Vielecke gelegt. Eine n-te zentrierte k-Eckszahl kann auch als Mittelpunkt mit k Dreiecken der Größe Δ_(n−1) aufgefasst werden. Daher gilt:

1 + kΔ_(n−1) = 1 + kn(n−1)/2.

Die Summe dreier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine zentrierte Dreieckszahl. Weil die Dreieckszahlen modulo 3 den Zyklus (1,0,0) besitzen, hat jede zentrierte Dreieckszahl bei Division durch 3 den Rest 1.

In der Ebene führt die Übertragung des Konstruktionsprinzips auf Vielecke zu Polygonalzahlen, etwa Quadrat- und Fünfeckszahlen. In höheren Dimensionen entstehen reguläre figurierte Zahlen: Im Dreidimensionalen sind es Tetraederzahlen, im Vierdimensionalen Pentatopzahlen zum 5-Zell; das Verfahren lässt sich in beliebig vielen Dimensionen fortsetzen. Im Eindimensionalen entsprechen ihm die natürlichen Zahlen.

Für Dreieckszahlen Δ_n ≥ 6 gehört die Vorschrift Δ_n = n(n+2k−1)/2 mit k ≥ 1 und n ≥ 3 für den Sonderfall k = 1 zu genau einer von drei disjunkten Zahlenklassen.

Weitere Folgen und Anwendungen

Unter den Dreieckszahlen treten Zahlenpalindrome auf, die vorwärts und rückwärts gleich geschrieben werden. Beispiele sind 1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995 und 8778. Zu ihnen gehören unter anderem die 11., 1.111., 111.111. und 11.111.111. Dreieckszahl.

Für Zehnerpotenzen als Index gilt Δ_(10^n) = (10^(2n)+10^n)/2 = 5(10^(2n−1)+10^(n−1)). Daher sind die 10., 100., 1.000. und 10.000. Dreieckszahl gleich 55, 5.050, 500.500 und 50.005.000.

Die Dreieckszahlen zerfallen in zwei Teilfolgen: 3, 10, 21, 36, 55, 78, … haben die Form n(2n+1); die andere Hälfte sind die Sechseckszahlen 1, 6, 15, 28, 45, 66, … mit der Form n(2n−1).

Pedro Antonio Pizá fand 1950 die Beziehung 3(Σ_(k=1)^n Δ_k)^3 = Σ_(k=1)^n Δ_k^3 + 2Σ_(k=1)^n Δ_k^4 = n³(n+1)³(n+2)³/72.

Eine geometrische Anwendung betrifft die Diagonalen eines konvexen n-Ecks. Ihre Anzahl ist Δ_(n−2)−1 = n(n−3)/2.

Schließlich gilt für die Abrundungsfunktion, die eine Zahl auf die nächste ganze Zahl nach unten abbildet: ⌊2√Δ_n⌋ = ⌊(n+1/2)√2⌋.