Normalform

Begriff und Zweck

Eine Normalform, auch kanonische Form genannt, ist eine mathematische Darstellung mit festgelegten Eigenschaften. Sie dient dazu, unterschiedliche Darstellungen eines Objekts systematisch zu vergleichen und zu ordnen.

Aus einer beliebigen Darstellung kann die Normalform durch erlaubte Umformungen erreicht werden. Führen mehrere Darstellungen zur gleichen Normalform, gelten sie bezüglich dieser Normalform als äquivalent. Viele Normalformen sind eindeutig: Zu jeder Darstellung gehört dann genau eine einzige Normalform.

Formale Beschreibung

Formal ist eine Normalform das letzte Element einer Kette innerhalb einer wohlfundierten Relation. Eine Relation beschreibt hier, welche Darstellungen durch die erlaubten Umformungen miteinander verbunden sind. Wohlfundiert bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Umformungsprozess nicht unbegrenzt fortgesetzt wird. Laut Artikel folgt dies aus der endlichen Anzahl möglicher Manipulationen.

Bei abstrakten Reduktionssystemen bezeichnet eine Normalform entsprechend ein Objekt, das nicht weiter reduziert werden kann.

Typische Beispiele

Ein vollständig gekürzter Bruch ist eine Normalform für eine rationale Zahl. Die Brüche 2/4 und 3/6 besitzen beide die Normalform 1/2. Dadurch wird sichtbar, dass sie denselben Zahlenwert haben.

Bei Matrizen ist die Stufenform eine Normalform: Eine Matrix A steht zu einer Matrix B in Relation, wenn B durch Pivotisierung aus A hervorgeht. Die Stufennormalform eines linearen Gleichungssystems wird mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens erreicht.

Normalformen in der Mathematik und Spieltheorie

In der Mathematik ist eine Normalform allgemein eine Darstellung eines Objekts, die bestimmte vorgegebene Eigenschaften besitzt und für alle Objekte des betreffenden Typs eindeutig bestimmt werden kann.

Wichtige Beispiele sind die hessesche Normalform einer Geraden oder Ebene, die Stufennormalform eines linearen Gleichungssystems und verschiedene Normalformen von Matrizen. Dazu zählen die jordansche Normalform und die Frobenius-Normalform, auch rationale Normalform genannt, für quadratische Matrizen sowie die Smith-Normalform für Matrizen mit Einträgen aus einem Hauptidealring. Außerdem gibt es eine Normalform orthogonaler Matrizen.

Weitere Anwendungsfälle sind die Normalform einer Geraden, einer quadratischen Gleichung und einer Quadrik sowie der vollständig gekürzte Bruch einer rationalen Zahl. In der Spieltheorie bezeichnet die Normalform eine bestimmte Darstellungsform eines Spiels.

Normalformen in Informatik, Logik und Technik

In der theoretischen Informatik sind Normalformen vereinfachte Formen kontextfreier Grammatiken. Besonders genannt werden die Chomsky-Normalform und die Greibach-Normalform. Daneben führt der Artikel die Gentzen-Normalform im Zusammenhang mit Gentzens Hauptsatz auf.

Bei relationalen Datenbanken entsteht eine Normalform durch die schrittweise Entfernung von Redundanzen, also mehrfach oder unnötig gespeicherten Informationen. Dieser Vorgang heißt Normalisierung.

In der Logik sind Normalformen festgelegte Darstellungsformen logischer Formeln. Dazu gehören die Shannon-Normalform, die Negationsnormalform sowie kanonische Formen wie die konjunktive Normalform, die disjunktive Normalform und die Ringsummennormalform. In der Prädikatenlogik werden außerdem die bereinigte Normalform, die Negationsnormalform, die Pränex-Normalform, die Skolemform und die Klausel-Normalform verwendet.

In der Digitaltechnik bezeichnet die Normalform bei digitalen Filtern in Formalform eine Darstellung mit der minimalen Anzahl von Elementen unter Berücksichtigung der gewünschten Filtereigenschaften.