Zielmenge

Zielmenge und Bildmenge

Bei einer Funktion f\colon A\to B heißt A Definitionsmenge oder Definitionsbereich und B Zielmenge oder Wertevorrat. Die Zielmenge enthält alle Werte, die grundsätzlich als Funktionswerte vorgesehen sind. Die Funktion muss jedoch nicht jeden Wert aus der Zielmenge tatsächlich annehmen.

Die tatsächlich angenommenen Funktionswerte bilden die Bildmenge. Die Begriffe Wertemenge und Wertebereich sind nicht überall eindeutig: Sie können die Zielmenge oder die Bildmenge meinen. Im deutschen Schulunterricht bezeichnen Wertemenge und Wertebereich ausschließlich die Bildmenge.

Surjektivität und Gleichheit von Funktionen

Eine Funktion heißt surjektiv oder rechtstotal, wenn ihre Bildmenge gleich ihrer Zielmenge ist. Dann wird also jedes Element der Zielmenge tatsächlich als Funktionswert angenommen.

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Zwei Funktionen mit demselben Definitionsbereich und derselben Funktionsvorschrift sind nicht gleich, wenn sie verschiedene Zielmengen besitzen.

Abstand vom Nullpunkt

Die Funktion f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} ordnet jedem Punkt (a,b) der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu:

f(a,b)=\sqrt{a^2+b^2}

Ihre Zielmenge ist \mathbb{R}, die Menge der reellen Zahlen. Weil ein Abstand nie negativ ist, nimmt f nicht alle Werte dieser Zielmenge an. Ihre Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen, oft als \mathbb{R}_0^+ bezeichnet. Daher ist f nicht surjektiv.

Für g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}_0^+ mit g(a,b):=\sqrt{a^2+b^2} stimmen Definitionsbereich, Funktionsvorschrift und Bildmenge mit denen von f überein. Die Zielmengen sind jedoch verschieden. Deshalb gilt f\neq g. Bei g sind Bildmenge und Zielmenge gleich, sodass g surjektiv ist.

Zuordnung der beteiligten Mengen

In der dargestellten Beispielfunktion enthält die Definitionsmenge A die Elemente 1, 2, 3 und 4. Die Zielmenge B enthält a, b, c und d. Tatsächlich als Funktionswerte angenommen werden nur b, c und d; diese Elemente bilden daher die Bildmenge.

Damit gilt allgemein: Die Bildmenge liegt innerhalb der Zielmenge, kann aber kleiner als diese sein. Definitionsbereich ist gleichbedeutend mit Definitionsmenge, Wertevorrat mit Zielmenge.