Funktionenfolge

Grundidee und Definition

Eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren Glieder Funktionen sind, zum Beispiel f_1,f_2,f_3,\ldots. Sie ist in allen Teilgebieten der Analysis wichtig, weil man untersucht, ob und in welchem Sinn die Funktionen gegen eine Grenzfunktion f konvergieren. Dabei interessiert insbesondere, welche Eigenschaften auf die Grenzfunktion übergehen und wann Grenzwertbildungen mit Integralen oder Ableitungen vertauscht werden dürfen.

Eine reelle Funktionenfolge besteht etwa aus Funktionen f_i\colon\mathbb R\to\mathbb R. Allgemeiner haben alle Funktionen dieselbe Definitionsmenge D und dieselbe Zielmenge Z; die Mengen können beispielsweise Intervalle sein. Abstrakt ist sie eine Abbildung f\colon D\times\mathbb N\to Z,\quad (x,n)\mapsto f_n(x). Ist die Indexmenge nicht \mathbb N, heißt die Sammlung Familie von Funktionen. Reihen von Funktionen, etwa Potenzreihen, Fourier-Reihen oder Dirichletreihen, werden auch Funktionenreihen genannt.

Beschränktheit und Monotonie

Die Folge (f_i) heißt auf D monoton wachsend, wenn f_i(x)\leq f_{i+1}(x) für alle x\in D gilt; monoton fallend bedeutet entsprechend f_i(x)\geq f_{i+1}(x). Monoton bedeutet: wachsend oder fallend.

Punktweise beschränkt heißt: Für jedes feste x\in D ist die Menge \{f_i(x)\mid i\in\mathbb N\} beschränkt. Gleichmäßig beschränkt auf A\subset D heißt stärker: Es gibt eine Konstante c, sodass |f_i(x)|\leq c für alle Indizes i und alle x\in A gilt. Gleichmäßige Beschränktheit impliziert punktweise Beschränktheit.

Für beschränkte reellwertige Funktionen beschreibt die Supremumsnorm \|f_i\|_\infty=\sup\{|f_i(x)|:x\in X\} die größte Größe der Funktionswerte. Eine Funktionenfolge ist genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie bezüglich dieser Norm beschränkt ist. Für vektorwertige Funktionen mit Zielraum Z und Norm \|\cdot\|_Z verwendet man \|f\|_\infty:=\sup\{\|f(x)\|_Z:x\in D\}.

Lokal gleichmäßig beschränkt auf einer offenen Menge A bedeutet, dass zu jedem Punkt x_0\in A eine offene Umgebung U(x_0) und eine Konstante c existieren, auf denen |f_i(x)|\leq c für alle i gilt.

Klassische Konvergenz

Bei punktweiser Konvergenz existiert für jeden einzelnen Punkt x der Grenzwert f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x). Dieser Begriff kann jedoch Eigenschaften wie Stetigkeit nicht erhalten: \cos^{2n}x konvergiert punktweise gegen die Funktion mit Wert 1 für x=\pi k, k\in\mathbb Z, und Wert 0 sonst; diese Grenzfunktion ist unstetig.

Gleichmäßige Konvergenz gegen f liegt vor, wenn die maximalen Unterschiede zwischen f_n und f gegen null gehen. Sie ist also Konvergenz in der Supremumsnorm. Sie ist besonders wichtig, weil sie Eigenschaften überträgt:

• Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig.
• Auf einem kompakten Intervall ist der gleichmäßige Limes Riemann- beziehungsweise Lebesgue-integrierbarer Funktionen wieder integrierbar und \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n=\int_a^b f.
• Konvergieren differenzierbare Funktionen f_n punktweise gegen f und ihre Ableitungen gleichmäßig, dann ist f differenzierbar und \lim_{n\to\infty}f_n'=f'.

Bei lokal gleichmäßiger Konvergenz wird Gleichmäßigkeit nur in einer Umgebung jedes Punktes verlangt. Das genügt bei vielen Anwendungen, etwa bei Potenzreihen, und überträgt ebenfalls Stetigkeit. Kompakte Konvergenz fordert gleichmäßige Konvergenz auf jeder kompakten Teilmenge. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert kompakte Konvergenz; in lokalkompakten Räumen gilt auch die Umkehrung. Normale Konvergenz charakterisiert unendliche Reihen von Funktionen. Einfach-gleichmäßige und quasi-gleichmäßige Konvergenz gelten heute als historische Begriffe.

Maßtheoretische Konvergenz

Auf einem Maßraum (\Omega,\Sigma,\mu) sind Grenzfunktionen oft nur fast überall eindeutig: Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, werden dabei als gleichwertig betrachtet.

Punktweise Konvergenz fast überall bedeutet, dass es eine Menge Z\in\Sigma mit \mu(Z)=0 gibt und f_n auf \Omega\setminus Z punktweise gegen f konvergiert. Für ein Wahrscheinlichkeitsmaß heißt dies fast sichere Konvergenz. Beispielsweise konvergiert \cos^{2n}x bezüglich des Lebesgue-Maßes fast überall gegen 0. Punktweise Konvergenz fast überall wird nicht von einer Topologie erzeugt, obwohl sie den Fréchet-Axiomen genügt.

Konvergenz dem Maße nach gegen f heißt, dass für jedes \varepsilon>0 \lim_{n\to\infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon\})=0 gilt. In endlichen Maßräumen folgt sie aus Konvergenz fast überall. In der Stochastik heißt sie stochastische Konvergenz oder Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Die lokale Konvergenz nach Maß ist eine Abschwächung; auf endlichen Maßräumen stimmen beide Begriffe überein.

L^p-Konvergenz, auch Konvergenz im p-ten Mittel, bedeutet \lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|_p=\lim_{n\to\infty}\left(\int_\Omega\|f_n(x)-f(x)\|^p\,\mathrm d\mu(x)\right)^{1/p}=0. Bei endlichem Maß folgt aus L^q-Konvergenz auch L^p-Konvergenz für q\geq p\geq0. L^p-Konvergenz impliziert Konvergenz dem Maße nach; dies folgt aus der Tschebyschow-Ungleichung. Konvergenz in Sobolew-Räumen verallgemeinert dies, indem zusätzlich bestimmte Ableitungen berücksichtigt werden.

Fast gleichmäßige Konvergenz bedeutet: Zu jedem \varepsilon>0 lässt sich eine Menge A mit \mu(A)<\varepsilon entfernen, sodass auf \Omega\setminus A gleichmäßige Konvergenz gilt. Sie impliziert Konvergenz fast überall und Konvergenz dem Maße nach. Nach dem Satz von Jegorow ist sie in endlichen Maßräumen für reellwertige Funktionen äquivalent zur Konvergenz fast überall. Eine dem Maße nach konvergente Folge besitzt eine Teilfolge, die fast gleichmäßig gegen dieselbe Grenzfunktion konvergiert.

Fast überall gleichmäßige Konvergenz verlangt dagegen eine feste Nullmenge Z, außerhalb derer gleichmäßige Konvergenz gilt. Für Folgen beschränkter Funktionen entspricht dies im Wesentlichen der Konvergenz in L^\infty; sie darf nicht mit fast gleichmäßiger Konvergenz verwechselt werden. Schwache Konvergenz in \mathcal L^p, p\in[1,\infty), gegen f bedeutet, dass für alle g\in\mathcal L^q mit \frac1p+\frac1q=1 gilt: \lim_{n\to\infty}\int_Xf_ng\,\mathrm d\mu=\int_Xfg\,\mathrm d\mu.

Zusammenhänge und Anwendungen

In Räumen mit endlichem Maß, insbesondere in Wahrscheinlichkeitsräumen mit \mu(\Omega)=1, lassen sich viele Konvergenzarten nach ihrer Stärke ordnen. Ein wichtiger Weg lautet: \text{gleichmäßig}\Rightarrow\text{lokal gleichmäßig}\Rightarrow\text{kompakt}\Rightarrow\text{punktweise}\Rightarrow\text{fast überall}\Leftrightarrow\text{fast gleichmäßig}\Rightarrow\text{dem Maße nach}. Ein zweiter Weg ist \text{gleichmäßig}\Rightarrow L^\infty\Rightarrow L^p\ (0<p<\infty)\Rightarrow\text{dem Maße nach}. Dabei folgt aus L^p-Konvergenz auch L^q-Konvergenz für 0<q<p. Von Konvergenz dem Maße nach gelangt man zur schwachen Konvergenz beziehungsweise Konvergenz in Verteilung.

Ein zentrales Beispiel zeigt, warum punktweise Konvergenz allein nicht das Vertauschen von Grenzwert und Integral erlaubt. Für die auf [0,2] definierte Folge f_n(x)=\begin{cases}n^2x&0\leq x\leq1/n,\\2n-n^2x&1/n\leq x\leq2/n,\\0&x\geq2/n\end{cases} gilt punktweise f_n(x)\to0, aber für jedes n ist \int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx=1. Daher ist \lim_{n\to\infty}\int_0^2f_n(x)\,\mathrm dx\ne\int_0^2\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,\mathrm dx. Hinreichend für eine solche Vertauschung sind typischerweise gleichmäßige, majorisierte oder monotone Konvergenz.

Funktionenfolgen dienen außerdem zur Approximation: Fourierreihen konvergieren im L^2-Sinn gegen die darzustellende Funktion, während Reihen aus Tschebyschow-Polynomen oft bessere Approximationen im Sinn gleichmäßiger Konvergenz liefern. In der Stochastik sind Folgen von Zufallsvariablen und der Stichprobenmittelwert \bar X_N=\frac1N\sum_{n=1}^NX_n Funktionenfolgen. In der numerischen Mathematik sollen diskretisierte Lösungen f_n einer Gleichung \mathrm D_nf=0 bei Verfeinerung der Diskretisierung gegen die Lösung von \mathrm Df=0 konvergieren. Wichtige Theoreme über Funktionenfolgen sind der Satz von Arzelà-Ascoli, der Satz von Dini und der Satz von Jegorow.