Halbwertszeit

Grundidee und Bedeutung

Die Halbwertszeit oder Halbwertzeit, abgekürzt HWZ und meist mit T_{1/2} oder t_{1/2} bezeichnet, ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte ihres anfänglichen Werts erreicht. In Medizin und Pharmakologie kann damit auch die Zeit gemeint sein, nach der die Hälfte des Höchstwerts erreicht ist. Die Größe kann zum Beispiel die Zahl radioaktiver Atomkerne in einer Probe, die Menge eines Arzneistoffs im Körper oder die Häufigkeit von Zitaten wissenschaftlicher Veröffentlichungen sein.

Besonders wichtig ist die Halbwertszeit bei exponentieller Abnahme. Dann ist sie unabhängig vom Anfangswert: Egal, wie viel einer Größe am Anfang vorhanden ist oder wie viel schon zerfallen ist, die jeweils verbleibende Restmenge halbiert sich immer im selben Zeitraum. Dadurch beschreibt die Halbwertszeit den zugrunde liegenden Vorgang selbst. Die exponentielle Abnahme kann mit N(t)=N·e^{-t·ln(2)/T_{1/2}} beschrieben werden.

Eine verwandte Größe ist die durchschnittliche Lebensdauer. Bei exponentieller Abnahme beträgt sie τ=T_{1/2}/ln 2. Nach dieser Zeit ist die Größe auf den Bruchteil 1/e, also ungefähr 36,8 % des Anfangswerts, gefallen. Wenn eine Größe dagegen wächst, nennt man die Zeit bis zur Verdopplung des Anfangswerts Verdopplungszeit.

Exponentielle Abnahme

Bei exponentieller Abnahme einer Größe X(t) hängt die Halbwertszeit weder vom gewählten Anfangszeitpunkt t_0 noch vom Startwert X_0=X(t_0) ab. Nach einer Halbwertszeit T_{1/2} ist der Wert auf X_0/2 gefallen. Nach zwei Halbwertszeiten beträgt er X_0/4, nach drei Halbwertszeiten X_0/8. Allgemein ist der Wert nach n·T_{1/2} auf X_0/2^n gefallen.

Weitere typische Vergleichswerte sind: Nach 1,443·T_{1/2} ist der Wert auf X_0/e gesunken, nach 3,322·T_{1/2} auf X_0/10. Diese Zahlen zeigen, dass die Halbwertszeit ein praktisches Maß ist, um exponentielle Abnahmen schnell abzuschätzen.

Radioaktive Halbwertszeit

Beim radioaktiven Zerfall eines bestimmten Radionuklids verläuft die Abnahme exponentiell. Ein Radionuklid ist ein radioaktives Nuklid, also eine Atomkernart, die zerfallen kann. Die Halbwertszeit ist hier die Zeitspanne, in der die Menge des Radionuklids und damit auch seine Aktivität auf die Hälfte sinkt. Aktivität bedeutet die Zahl der Zerfälle pro Zeit. In dieser Zeit haben sich 50 % der Atomkerne, meist unter Aussendung ionisierender Strahlung, in ein anderes Nuklid umgewandelt. Dieses neue Nuklid kann selbst radioaktiv sein oder stabil.

Für jedes Nuklid ist die Halbwertszeit eine feste Größe und lässt sich nur in Ausnahmen ganz geringfügig beeinflussen. Die Halbierung ist aber ein statistischer Mittelwert. Je mehr noch nicht zerfallene Atome in einer Probe vorhanden sind, desto genauer zeigt sich dieser Mittelwert. Für einen einzelnen Atomkern kann man nicht vorhersagen, wann er zerfällt; man kann nur die Wahrscheinlichkeit pro Zeitintervall angeben, die durch die Zerfallskonstante λ beschrieben wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Kern innerhalb der ersten Halbwertszeit zerfällt, beträgt 50 %. Innerhalb von zwei Halbwertszeiten beträgt sie 50 % + 25 % = 75 %, innerhalb von drei Halbwertszeiten 50 % + 25 % + 12,5 % = 87,5 %.

Radioaktive Halbwertszeiten reichen von weniger als einer Mikrosekunde bis zu einigen Quadrillionen Jahren. Polonium-212 hat zum Beispiel eine Halbwertszeit von 0,3 µs, Tellur-128 etwa 7·10^{24} Jahre. Eng verbunden mit der Halbwertszeit ist die spezifische Aktivität, also die Aktivität pro Masse, zum Beispiel in Bq/mg. Der Zusammenhang ist umgekehrt proportional: Je kürzer die Halbwertszeit, desto größer ist bei gleicher Substanzmenge die Aktivität. Beispiele sind ^{131}I mit 8 Tagen und 4.600.000.000.000 Bq/mg, ^{3}H mit 12,33 Jahren und 370.000.000.000 Bq/mg, ^{239}Pu mit 24.110 Jahren und 2.307.900 Bq/mg sowie ^{238}U mit 4.468.000.000 Jahren und 12 Bq/mg.

Bei sehr langen Halbwertszeiten ist die Aktivität entsprechend gering und schwer nachzuweisen. Erst Ende des 20. Jahrhunderts wurden einige früher als stabil geltende Nuklide als extrem langlebige Radionuklide erkannt, etwa ^{149}Sm, ^{152}Gd, ^{174}Hf, ^{180}W und ^{209}Bi mit Halbwertszeiten bis zu einigen Trillionen Jahren. Als Faustregel gilt für manche praktische Zwecke: Nach 10 Halbwertszeiten ist die Aktivität einer Strahlenquelle vernachlässigbar, weil sie auf 2^{-10}=1/1024, also weniger als ein Tausendstel des Anfangswerts, gesunken ist.

Messung und Daten

Die Messung radioaktiver Halbwertszeiten hängt stark von der Größenordnung ab. Bei Halbwertszeiten etwa von Sekunden bis Tagen kann man direkt beobachten, wie die Aktivität bis auf die Hälfte abnimmt. Sehr lange Halbwertszeiten bestimmt man, indem man die Zerfälle pro Zeitintervall an einer bekannten Substanzmenge zählt. Dabei misst man praktisch die Zerfallskonstante λ. Die Menge des Radionuklids kann zum Beispiel mit Massenspektroskopie bestimmt werden. So wurde die Halbwertszeit des Eisenisotops Fe-60 von 2,5·10^6 Jahren auf 2 % genau gemessen.

Für sehr kurze Halbwertszeiten nutzt man andere Techniken, zum Beispiel die Bestimmung des Zerfallsorts, wenn ein Atom oder Molekül mit bekannter Geschwindigkeit an Detektoren vorbeifliegt. Extrem kurze Halbwertszeiten, etwa bei angeregten Kernzuständen im Bereich 10^{-22} bis 10^{-16} Sekunden, können über die Zerfallsbreite der entstehenden Strahlung gemessen werden.

Halbwertszeiten von Radionukliden werden in Nuklidkarten und Datensammlungen angegeben. Eine häufig verwendete gedruckte Sammlung ist die Karlsruher Nuklidkarte; als Online-Nuklidkarte wird eine Darstellung des Korean Atomic Energy Research Institute genannt. Historisch wurde die erste Beobachtung, dass die Aktivität eines Radionuklids in gleichen Zeiträumen um denselben Faktor abnimmt, 1900 von Rutherford veröffentlicht. Die untersuchte Substanz war nach heutiger Bezeichnung das Radon-Isotop ^{220}Rn.

Biologische und effektive Halbwertszeit

Die biologische Halbwertszeit, auch Eliminationshalbwertszeit, beschreibt die Zeit, in der in einem Organismus die Menge einer aufgenommenen Substanz durch biologische Prozesse auf die Hälfte sinkt. Zu diesen Prozessen gehören Stoffwechsel und Ausscheidung. In der Pharmakokinetik, also der Lehre davon, wie Arzneistoffe im Körper aufgenommen, verteilt, umgewandelt und ausgeschieden werden, ist die Halbwertszeit die Zeit, in der die Hälfte eines aufgenommenen Arzneimittels verstoffwechselt oder ausgeschieden ist.

Pharmakokinetische Halbwertszeiten können stark verschieden sein. Beim Erwachsenen werden für Penicillin-G 0,5 Stunden angegeben, für Phenobarbital 120 Stunden. Weil mehrere Prozesse beteiligt sein können und diese teilweise unterschiedlich von der Konzentration abhängen, kann die Eliminationshalbwertszeit mancher Stoffe von der Ausgangskonzentration abhängen. Für Phenytoin beträgt sie zum Beispiel bei geringer Konzentration sieben Stunden, bei höherer Konzentration bis zu 40 Stunden.

Die effektive Halbwertszeit eines inkorporierten Radionuklids beschreibt, wann die halbe Menge dieses aufgenommenen Radionuklids verschwunden ist. Dabei wirken zwei Prozesse zusammen: der radioaktive Zerfall und die Wiederausscheidung durch den Stoffwechsel. Beide verlaufen exponentiell, meist mit unterschiedlichen Halbwertszeiten. Die effektive Halbwertszeit berechnet sich als (physikalische Halbwertszeit · biologische Halbwertszeit)/(physikalische Halbwertszeit + biologische Halbwertszeit). Sie ist immer kleiner als die kleinere der beiden einzelnen Halbwertszeiten. Wenn biologische und physikalische Halbwertszeit sehr verschieden sind, entspricht die effektive Halbwertszeit ungefähr der kürzeren; wenn sie gleich lang sind, ist die effektive Halbwertszeit halb so groß wie jede der beiden ursprünglichen Halbwertszeiten.

Mathematische Beschreibung und weitere Anwendungen

Das Zerfallsgesetz setzt eine kontinuierliche, als reelle Zahl darstellbare Größe voraus. Es kann aber auch für ganzzahlige Größen wie die Zahl der Atome in einer radioaktiven Probe verwendet werden, weil es den messtechnischen Erwartungswert beschreibt, also den Mittelwert über viele gedachte Einzelmessungen.

Beim exponentiellen Zerfall wird angenommen, dass die Menge N(t) einer Substanz mit einer festen Zerfallskonstante λ abnimmt. In einer kurzen Zeitspanne Δt ändert sich die Menge um ΔN(t)=-λ·N(t)·Δt. Daraus folgt die Differentialgleichung dN(t)/dt=-λ·N(t). Ihre Lösung ist N(t)=N_0·exp(-λ·t), wobei N(0)=N_0 die Anfangsmenge ist. Für die Halbwertszeit gilt N(T_{1/2})=N_0/2 und daraus T_{1/2}=ln(2)/λ≈0,693/λ. Allgemeiner gilt für die Zeit T_{1/n}, nach der nur noch der n-te Teil vorhanden ist: T_{1/n}=ln(n)/λ.

Bei allgemeinem Zerfall bleibt die Definition N(T_{1/2})=N_0/2 erhalten, aber N(t) muss keiner einfachen Exponentialfunktion folgen. Ein Beispiel sind chemische Reaktionen zweiter Ordnung, etwa Dimerisierungen der Form N+N→P, bei denen sich zwei Moleküle N zu einem Molekül P verbinden. Das Geschwindigkeitsgesetz lautet dN(t)/dt=-2·λ·N^2(t). Die Lösung ist N(t)=N_0/(1+N_0·2·λ·t), und die Halbwertszeit ist T_{1/2}=1/(2·λ·N_0). Anders als beim exponentiellen Zerfall hängt sie hier ausdrücklich von der Ausgangsmenge N_0 ab. Allgemein gilt in diesem Beispiel T_{1/n}=(n-1)/(2·λ·N_0).

Auch in der Bibliometrie wird der Begriff Halbwertszeit verwendet. Dort beschreibt er das Veralten naturwissenschaftlicher Publikationen, gemessen an der abnehmenden Häufigkeit von Zitaten. Dafür wurde ein ungefähr exponentielles Verhalten mit einer Halbwertszeit von rund fünf Jahren festgestellt. Eine ähnliche Halbwertszeit fand sich in der Universitätsbibliothek Ulm für die Häufigkeit von Kopienbestellungen von Zeitschriftenartikeln. Eine naturwissenschaftliche Veröffentlichung wird demnach durchschnittlich jedes Jahr um etwa 13 % weniger gelesen oder zitiert als im Vorjahr, abgesehen von Klassikern und neuesten Werken.