Komplement (Mengenlehre)

Grundidee

In der Mengenlehre gibt es zwei Arten von Komplementen: das relative Komplement und das absolute Komplement. Beide beschreiben, welche Elemente aus einer Menge ausgeschlossen werden, aber sie beziehen sich auf unterschiedliche Bezugsmengen.

Das relative Komplement betrachtet eine Menge im Verhältnis zu einer zweiten Menge. Das absolute Komplement setzt dagegen ein festes Universum U voraus, also eine Grundmenge, in der alle betrachteten Elemente liegen.

Relatives Komplement

Sind A und B Mengen, dann ist das relative Komplement von A in B die Menge genau der Elemente aus B, die nicht in A enthalten sind. Es heißt auch mengentheoretisches Komplement oder mengentheoretische Differenz.

Die formale Definition lautet: B \ A := {x ∈ B | x ∉ A}. Man liest das als „B ohne A“ oder „relatives Komplement von A in B“. Es entspricht der Subtraktion von Mengen.

„Relativ“ heißt dieses Komplement, weil das Komplement einer Menge A immer in Bezug auf eine weitere Menge B angegeben wird. Es kann auch so definiert werden, dass A eine Teilmenge von B sein soll. Für beliebige Mengen A und B gilt nämlich immer: B \ A = B \ (A ∩ B). Daher sind nur die Elemente von A wichtig, die zugleich in B liegen. Wenn A ⊆ B gilt, spricht man manchmal vom eigentlichen Komplement.

Beispiele zum relativen Komplement

Typische Beispiele sind:

• {1,2,3} \ {2,3} = {1}
• {2,3,4} \ {2,3} = {4}

Für R, die Menge der reellen Zahlen, und Q, die Menge der rationalen Zahlen, ist R \ Q die Menge der irrationalen Zahlen.

Rechenregeln für relative Komplemente

Relative Komplemente haben feste Eigenschaften im Zusammenhang mit Vereinigung und Durchschnitt. Für Mengen A, B und C gelten unter anderem:

• C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)
• C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)
• C \ (B \ A) = (A ∩ C) ∪ (C \ B)
• (B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ A = B ∩ (C \ A)
• (B \ A) ∪ C = (B ∪ C) \ (A \ C)
• A \ A = ∅
• A \ ∅ = A

Diese Regeln zeigen, wie sich das Entfernen von Elementen mit den Grundoperationen der Mengenlehre verbindet.

Absolutes Komplement

Ist ein Universum U festgelegt, dann heißt für jede Menge A ⊆ U das relative Komplement von A in U das absolute Komplement oder einfach Komplement von A.

Es wird als A^C notiert, manchmal auch als A', als A mit Überstrich, als ∁_U A oder als ∁A, wenn U feststeht. Die Definition lautet: A^C = U \ A.

Das absolute Komplement enthält also genau die Elemente des Universums U, die nicht in A liegen.

Beispiele und Rechenregeln zum absoluten Komplement

Ist das Universum die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist das absolute Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen.

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist häufig der Ergebnisraum Ω das Universum. Für ein Ereignis A ⊆ Ω ist das Gegenereignis A mit Überstrich das Komplement von A. Zum Beispiel ist das Komplement des Ereignisses „Würfel zeigt eine 5 oder 6“ das Ereignis „Würfel zeigt eine Zahl kleiner/gleich 4“.

Für Teilmengen A und B eines Universums U gelten die De Morganschen Regeln:

• (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
• (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Außerdem gelten die Komplementgesetze:

• A ∪ A^C = U
• A ∩ A^C = ∅
• ∅^C = U
• U^C = ∅
• Ist A ⊆ B, so ist B^C ⊆ A^C
• A^C \ B^C = B \ A

Das Komplement ist eine Involution: (A^C)^C = A. Zwischen relativem und absolutem Komplement gelten außerdem: A \ B = A ∩ B^C und (A \ B)^C = A^C ∪ B. Wenn A eine echte nichtleere Teilmenge von U ist, bilden A und A^C zusammen eine Partition von U, also eine Zerlegung von U in zwei disjunkte Teile, deren Vereinigung U ergibt.