Bedingte Wahrscheinlichkeit

Grundidee und Definition

Bedingte Wahrscheinlichkeit, auch konditionale Wahrscheinlichkeit, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt, unter der Bedingung, dass ein anderes Ereignis B bereits eingetreten ist oder als bekannt vorausgesetzt wird. Sie wird als P(A|B) geschrieben. Der senkrechte Strich bedeutet „unter der Bedingung“. Wenn B eingetreten ist, betrachtet man nur noch die Ergebnisse, die zu B gehören. Dadurch kann sich die Einschätzung der Wahrscheinlichkeit von A ändern.

Für Ereignisse A und B mit P(B)>0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit definiert durch: P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Dabei ist A∩B der Schnitt der Ereignisse A und B, also das Ereignis, dass A und B gemeinsam auftreten. P(A∩B) heißt gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Verbundwahrscheinlichkeit oder Schnittwahrscheinlichkeit. B heißt bedingendes Ereignis, A heißt bedingtes Ereignis.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt einen statistischen Zusammenhang, aber nicht automatisch eine Ursache. Beim Beispiel Rauchen R und Krebs K kann P(K|R) angeben, wie wahrscheinlich Krebs unter der Bedingung ist, dass jemand raucht. Umgekehrt kann auch P(R|K) betrachtet werden. Daraus folgt aber nicht allein, dass eine kausale Erklärung bewiesen ist.

Wichtige Eigenschaften

Für bedingte Wahrscheinlichkeiten gelten grundlegende Regeln:

• Es gilt immer 0≤P(A|B)≤1.
• Wenn A und B unvereinbar sind, also A∩B=∅, dann gilt P(A|B)=0. Unter der Bedingung B kann A dann nicht eintreten.
• Wenn B das Ereignis A zur Folge hat, also B⊆A, dann gilt P(A|B)=1. Wenn B eingetreten ist, ist A dann sicher eingetreten.

In einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) kann man für ein festes Ereignis B mit P(B)>0 für alle Ereignisse A bedingte Wahrscheinlichkeiten unter B bilden. Schreibt man PB(A)=P(A|B), dann ist PB selbst wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω,A). Damit ist (Ω,A,PB) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Anschaulich bedeutet das: Wenn B als sicher vorausgesetzt wird, entsteht eine neue Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nur noch relativ zu dieser Bedingung betrachtet wird.

Rechenregeln

Aus der Definitionsformel folgt durch Umformen der Multiplikationssatz: P(A∩B)=P(A|B)·P(B). Er berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gemeinsam eintreten, aus der Wahrscheinlichkeit von B und der bedingten Wahrscheinlichkeit von A unter B.

Für mehrere Ereignisse A1,A2,…,An lautet der allgemeine Multiplikationssatz: P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)·…·P(An|A1∩…∩An−1). Dabei müssen alle bedingenden Ereignisse positive Wahrscheinlichkeit haben. Besonders anschaulich ist das Rechnen mit einem Baumdiagramm, weil die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste nacheinander multipliziert werden.

Das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A aus bedingten Wahrscheinlichkeiten. Für ein Ereignis B und sein Gegenereignis Bc gilt: P(A)=P(A|B)·P(B)+P(A|Bc)·P(Bc), wobei P(B)>0 und P(Bc)>0 vorausgesetzt werden. Allgemeiner gilt für eine endliche oder abzählbar unendliche Partition (Bj) der Ergebnismenge Ω: P(A)=Σj∈J P(A|Bj)·P(Bj), wenn alle P(Bj)>0 sind.

Der Satz von Bayes verbindet P(A|B) und P(B|A): P(A|B)=P(B|A)·P(A)/P(B). Der Nenner P(B) kann dabei mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet werden.

Unabhängigkeit und stetige Zufallsvariablen

Zwei Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn gilt: P(A∩B)=P(A)·P(B). Dann verändert das Wissen über B die Wahrscheinlichkeit von A nicht. Aus der Definition folgt: P(A|B)=P(A). Ebenso gilt P(A|B)=P(A|Bc). Anschaulich: Ob B eingetreten ist oder nicht, hat keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von A.

Für stetige Zufallsvariablen wird statt einzelner Wahrscheinlichkeiten häufig mit Dichten gerechnet. Haben zwei reellwertige Zufallsvariablen X und Y eine gemeinsame Dichte fX,Y, dann ist eine Dichte von Y gegeben durch: fY(y)=∫ fX,Y(x,y) dx. Falls fY(y)>0 gilt, kann eine bedingte Dichte von X unter der Bedingung Y=y definiert werden durch: fX(x|Y=y)=fX,Y(x,y)/fY(y). Daraus folgt auch: fX,Y(x,y)=fY(y)fX(x|Y=y). Eine Form des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit lautet dann: fX(x)=∫ fX,Y(x,y) dy=∫ fY(y)fX(x|Y=y) dy. Dieser Vorgang heißt Marginalisierung. Zu beachten ist, dass Dichten nicht eindeutig festgelegt sind: Verschiedene Dichten können dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben, wenn sie dieselben Integralwerte liefern.

Typische Beispiele

Bei einem fairen Standardwürfel zeigt sich bedingte Wahrscheinlichkeit besonders einfach. Ist A={1,2,3} und B={4,5,6}, dann gilt A∩B=∅. Wenn B eingetreten ist, kann A nicht eingetreten sein, also P(A|B)=0.

Ist A={1,2} und B={1,2,3}, dann ist A eine Teilmenge von B. Es gilt: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=P(A)/P(B)=(2/6)/(3/6)=2/3. Ist dagegen A={1,2,3} und B={1,2}, dann ist B eine Teilmenge von A. Wenn B eingetreten ist, ist A sicher eingetreten, also P(A|B)=1.

Im allgemeinen Würfelbeispiel sei A={4,5,6}, also mindestens eine 4. Ohne Zusatzinformation gilt P(A)=1/2. Wenn bekannt ist, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde, also B={2,4,6}, dann ist A∩B={4,6} und: P(A|B)=(2/6)/(3/6)=2/3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist größer als die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit. Wenn dagegen bekannt ist, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wurde, also B={1,3,5}, dann ist A∩B={5} und: P(A|B)=(1/6)/(3/6)=1/3. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit kleiner.

Ein weiteres anschauliches Modell ist eine Wurfmaschine, die zufällig Objekte auf eine Fläche M wirft, wobei gleich große Flächen gleich wahrscheinlich getroffen werden. Für eine Teilfläche A gilt P(A)=F(A)/F(M). Wenn zusätzlich bekannt ist, dass das Objekt in einer Teilfläche B gelandet ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass es auch in A liegt, abhängig von der Überlappung A∩B: P(A|B)=F(A∩B)/F(B)=P(A∩B)/P(B).

Weitere Beispiele zeigen, dass P(A|B) und P(B|A) verschieden sein können. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Erde nass ist, wenn es regnet, ist nicht dasselbe wie die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Erde nass ist. Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Franzose ist, wenn er französisch spricht, nicht gleich der Wahrscheinlichkeit, dass jemand französisch spricht, wenn er Franzose ist. Beim Strafprozess People v. Collins (1968) wurde ein Fehlurteil unter anderem damit erklärt, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht korrekt berücksichtigt wurden; dies wird als Trugschluss des Staatsanwalts bezeichnet. Bei einer Champions-League-Auslosung 2013 mit zwei deutschen und zwei spanischen Mannschaften beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein rein deutsches und ein rein spanisches Halbfinale 1/3, nicht 50 %, weil nach der ersten gezogenen Mannschaft nur eine von drei verbleibenden Mannschaften aus demselben Land kommt.