Liste mathematischer Symbole

Zweck und Aufbau der Symbolübersicht

Die Liste mathematischer Symbole sammelt eine Auswahl häufig verwendeter Zeichen der modernen mathematischen Notation. Sie ist besonders für Formeln im Mathematikunterricht und im Studium gedacht. Vollständig kann eine solche Liste nicht sein, weil in der Mathematik sehr viele Symbole vorkommen. Viele Zeichen sind genormt, zum Beispiel in DIN 1302 Allgemeine mathematische Zeichen oder DIN EN ISO 80000-2 Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematische Zeichen für Naturwissenschaft und Technik.

Die Liste beschränkt sich weitgehend auf nicht-alphanumerische Zeichen. Sie ist nach mathematischen Teilgebieten geordnet, etwa Logik, Mengenlehre, Arithmetik, Algebra, lineare Algebra und Geometrie, Analysis sowie Stochastik. Manche Symbole haben je nach Kontext verschiedene Bedeutungen und erscheinen deshalb mehrfach. Ein Beispiel ist „|“: Es kann den Betrag |x|, die Mächtigkeit |A| einer Menge, Teilbarkeit a | b oder eine Bedingung P(A | B) ausdrücken.

Angaben zu jedem Symbol

Zu jedem Symbol werden mehrere Informationen angegeben. Unter „Symbol“ steht das Zeichen in einer LaTeX-Darstellung; wenn es mehrere typografische Varianten gibt, wird nur eine gezeigt. Unter „Verwendung“ steht eine Beispielschreibweise innerhalb einer Formel. Buchstaben dienen dort als Platzhalter für Zahlen, Variablen, Mengen oder allgemeinere Ausdrücke.

Die „Interpretation“ erklärt kurz die Bedeutung der Formel. Der Eintrag „Artikel“ verweist auf den Wikipedia-Artikel, in dem die Bedeutung des Symbols genauer behandelt wird. Unter „LaTeX“ steht der Befehl, mit dem das Zeichen erzeugt wird. Zeichen aus dem ASCII-Zeichensatz können meist direkt geschrieben werden; Ausnahmen sind unter anderem Rautezeichen, Backslash, geschweifte Klammern und Prozentzeichen. Hoch- und Tiefstellungen erfolgen über ^ und _ und werden nicht jedes Mal extra angegeben. Einige Symbole benötigen die LaTeX-Pakete amsmath oder amssymb.

Unter „Unicode“ steht der Codepunkt des entsprechenden Unicode-Zeichens. Manche Zeichen sind kombinierend und brauchen weitere Zeichen. Bei Klammern werden die Codepunkte der öffnenden und der schließenden Klammer angegeben.

Logik und Mengen

In der Logik werden Symbole verwendet, um Aussagen und Beziehungen zwischen Aussagen kurz zu schreiben. Definitionszeichen wie A := B bedeuten, dass A per Definition gleich B gesetzt wird; A :⇔ B bedeutet, dass A per Definition gleichwertig zu B ist. Junktoren verbinden Aussagen: A ∧ B bedeutet „A und B“, A ∨ B bedeutet „A oder B oder beide“, A ⇒ B bedeutet „aus A folgt B“, A ⇔ B bedeutet, dass A aus B folgt und umgekehrt. ¬A bedeutet „nicht A“. Für ein ausschließliches Oder stehen unter anderem Varianten wie A ⊕ B oder A ⊻ B.

Quantoren geben an, für wie viele Elemente eine Aussage gilt. ∀ x bedeutet „für alle Elemente x“, ∃ x bedeutet „es existiert mindestens ein Element x“, ∃! x bedeutet „es existiert genau ein Element x“, und ∄ x bedeutet „es existiert kein Element x“. Deduktionszeichen beschreiben logisches Folgern: A ⊢ B heißt, dass B syntaktisch aus A ableitbar ist; A ⊨ B heißt, dass B semantisch aus A folgt. ⊨ A bedeutet, dass A allgemeingültig ist. ⊥ kennzeichnet eine widersprüchliche Aussage, und ein schwarzes oder weißes Quadrat kann das Ende eines Beweises markieren.

In der Mengenlehre stehen Symbole für Mengen, Mengenoperationen und Mengenrelationen. ∅ oder ∅-Varianten bezeichnen die leere Menge. {a,b,...} ist die Menge mit den Elementen a, b und so weiter; {a | A(a)} oder {a : A(a)} ist die Menge der Elemente a, für die A(a) wahr ist. A ∩ B ist der Durchschnitt, A ∪ B die Vereinigung, A \ B die Differenz, A^C oder ein Überstrich das Komplement, A △ B die symmetrische Differenz. A × B ist das kartesische Produkt, und P(A) bezeichnet die Potenzmenge von A.

Mengenrelationen beschreiben Zugehörigkeit und Teilmengen. a ∈ A heißt, dass a Element von A ist; a ∉ A heißt, dass a nicht in A enthalten ist. A ⊂ B und A ⊊ B können eine echte Teilmenge bezeichnen, A ⊆ B eine Teilmenge. A ⊃ B, A ⊋ B und A ⊇ B stehen entsprechend für Obermengen. Ein Hinweis der Liste ist wichtig: Die Symbole ⊂ und ⊃ werden nicht einheitlich verwendet und schließen häufig die Gleichheit der beiden Mengen nicht aus. Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge A wird mit |A| oder #A geschrieben. Wichtige Zahlenmengen sind unter anderem ℙ für Primzahlen, ℕ für natürliche Zahlen, ℤ für ganze Zahlen, ℚ für rationale Zahlen, ℝ für reelle Zahlen und ℂ für komplexe Zahlen.

Rechnen, Vergleichen und Algebra

Die Arithmetik enthält die Grundrechenzeichen: a + b für Addition, a − b für Subtraktion, a · b oder a × b für Multiplikation und a : b, a / b, a ÷ b oder ein Bruchstrich für Division. Das unäre Minus −a bezeichnet eine negative Zahl oder das additive Inverse von a. ±a bedeutet „plus oder minus a“, ∓a „minus oder plus a“. Klammern wie (a) oder [a] legen fest, dass ein Term zuerst ausgewertet wird.

Elementare Funktionen und Zahlenzeichen umfassen p % für Prozent, |x| für den Betrag von x, ⌊x⌋ für die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x und ⌈x⌉ für die kleinste ganze Zahl größer oder gleich x. √x ist die Wurzel aus x, n√x die n-te Wurzel. Die Potenzfunktion wird nicht durch ein eigenes Symbol, sondern durch Hochstellung des Exponenten dargestellt. Bei komplexen Zahlen steht i in a + bi für die imaginäre Einheit. Re(z) und Im(z), häufiger auch Re und Im als Abkürzungen, bezeichnen Realteil und Imaginärteil; z mit Überstrich oder z* kann die konjugiert komplexe Zahl bezeichnen.

Gleichheits- und Vergleichszeichen drücken Beziehungen zwischen Größen aus: a = b bedeutet Gleichheit, a ≠ b Ungleichheit, a ≡ b Identität oder in der Zahlentheorie Kongruenz, a ≈ b ungefähre Gleichheit, a ∼ b je nach Kontext Proportionalität, Schätzung oder asymptotische Gleichheit. a < b und a > b bedeuten kleiner beziehungsweise größer; a ≤ b und a ≥ b bedeuten kleiner oder gleich beziehungsweise größer oder gleich. Zeichen wie ≪, ≫, ⋘ und ⋙ drücken „viel kleiner“, „viel größer“, „sehr viel kleiner“ oder „sehr viel größer“ aus.

In der Teilbarkeit bedeutet a | b, dass a die Zahl b teilt; a ∤ b bedeutet, dass a b nicht teilt. a ⟂ b steht für teilerfremde Zahlen. Zeichen wie ⊓ oder ∧ können den größten gemeinsamen Teiler ausdrücken, ⊔ oder ∨ das kleinste gemeinsame Vielfache. a ≡ b mod m bedeutet, dass a und b kongruent modulo m sind. Mathematische Konstanten in der Liste sind Φ für den goldenen Schnitt, π für die Kreiszahl und e für die eulersche Zahl.

In der Algebra werden Symbole für Relationen, Gruppen, Ringe und Körper verwendet. R ∘ S ist die Komposition von Relationen, a ∘ b oder a * b eine allgemeine Verknüpfung. a ∼ b kann eine Äquivalenzrelation bedeuten; [a] ist dann die Äquivalenzklasse von a. M / ∼ ist eine Faktormenge. In der Gruppentheorie bedeuten G ≃ H oder G ≅ H, dass Gruppen isomorph sind; G × H ist ein direktes Produkt, G ⋊ H ein semidirektes Produkt, U ≤ G eine Untergruppe und N ◁ G ein Normalteiler. In der Ringtheorie steht R* oder R× für die Einheitengruppe, I ◁ R für ein Ideal und R/I für einen Faktorring. In der Körpertheorie steht L/K, L | K oder L : K für eine Körpererweiterung; [L:K] ist deren Grad, und ein Überstrich über K bezeichnet den algebraischen Abschluss.

Geometrie, Vektoren und Matrizen

In der Elementargeometrie werden Zeichen verwendet, um geometrische Objekte kurz zu notieren. Ein Überstrich über AB oder [AB] kann die Strecke zwischen den Punkten A und B bezeichnen. |AB| oder ein Betrag um die Strecke bezeichnet ihre Länge. Ein Pfeil über AB steht für den Verbindungsvektor der Punkte A und B. AB oder (AB) kann die Verbindungsgerade bezeichnen. ∠ABC steht für den Winkel mit den Schenkeln BA und BC. △ABC bezeichnet ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C, □ABCD ein Viereck. g ∥ h bedeutet, dass die Geraden g und h parallel sind; g ∦ h bedeutet nicht parallel; g ⟂ h bedeutet orthogonal.

Vektoren und Matrizen werden oft mit Klammern dargestellt. Ein Zeilenvektor besteht aus den Elementen v1 bis vn, ein Spaltenvektor aus v1 bis vm. Eine Matrix besteht aus Einträgen a11 bis amn. In der Vektorrechnung ist v · w, (v,w) oder ⟨v,w⟩ ein Skalarprodukt; v × w oder [v,w] kann das Kreuzprodukt bezeichnen. (u,v,w) ist das Spatprodukt. v ⊗ w ist das dyadische Produkt, v ∧ w das Dachprodukt. |v| ist der Betrag eines Vektors, ||v|| seine Norm, und ein Dach über v bezeichnet den Einheitsvektor zu v.

In der Matrizenrechnung bezeichnet A · B das Produkt zweier Matrizen, A : B in der Physik das Frobenius-Skalarprodukt, A ∘ B das Hadamard-Produkt und A ⊗ B das Kronecker-Produkt. A^T ist die transponierte Matrix, A^H oder A* eine adjungierte Matrix, A^{-1} die inverse Matrix und A^+ die Moore-Penrose-Inverse. |A| oder det(A) bezeichnet die Determinante, ||A|| eine Matrixnorm. Für Vektorräume stehen V + W oder V ⊕ W für Summen, V × W für ein direktes Produkt, V ⊗ W für ein Tensorprodukt, V/U für einen Faktorraum, U^⊥ für ein orthogonales Komplement, V* für den Dualraum und ⟨X⟩ für die lineare Hülle.

Analysis und Stochastik

In der Analysis treten Symbole für Topologie, Intervalle, Folgen, Funktionen, Grenzwerte, Ableitungen und Integrale auf. In der Topologie bezeichnet ∂U den Rand einer Menge U, U° ihr Inneres und ein Überstrich über U den Abschluss. Intervalle werden mit verschiedenen Klammern geschrieben: [a,b] ist abgeschlossen, ]a,b[ oder (a,b) offen, [a,b[ oder [a,b) rechts halboffen und ]a,b] oder (a,b] links halboffen.

Eine Folge wird als (a_n)_n geschrieben; a_n → a bedeutet, dass die Folge gegen den Grenzwert a konvergiert. n → ∞ bedeutet, dass n nach unendlich divergiert. Σ steht für eine Summe, Π für ein Produkt und ∐ für ein Koprodukt, jeweils zum Beispiel von i = 1 bis n oder über alle i in einer Menge I. Bei Funktionen bedeutet f: A → B, dass f von A nach B abbildet; f: x ↦ y bedeutet, dass x auf y abgebildet wird. f(x) ist ein Funktionswert, f(X) oder f[X] das Bild einer Menge, f|_X die Einschränkung, f^{-1} die Umkehrfunktion oder das Urbild, f ∘ g die Verkettung und f * g die Faltung.

Zu den genannten Funktionssymbolen gehören exp(x) für die Exponentialfunktion, log(x) oder log_a(x) für den Logarithmus zur Basis a, ln(x) für den natürlichen Logarithmus, sin(x), cos(x), tan(x) und cot(x) für trigonometrische Funktionen sowie sinh(x), cosh(x), tanh(x) und coth(x) für hyperbolische Funktionen. Γ(x) bezeichnet die Gammafunktion. Grenzwerte werden zum Beispiel als lim_{x→a} f(x) geschrieben; Pfeile nach oben, unten oder diagonal unterscheiden einseitige Annäherungen. In der Stochastik gibt es Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, in Verteilung und im quadratischen Mittel.

Asymptotisches Verhalten beschreibt, wie Funktionen wachsen. f ∼ g bedeutet, dass f asymptotisch gleich g ist. Mit Landau-Symbolen gilt: f ∈ o(g) heißt, f wächst langsamer als g; f ∈ O(g) heißt, f wächst langsamer oder genauso schnell wie g; f ∈ Θ(g) heißt, f wächst genauso schnell wie g; f ∈ Ω(g) heißt, f wächst schneller oder genauso schnell wie g; f ∈ ω(g) heißt, f wächst schneller als g. In der Differentialrechnung bezeichnen f' und f'' die erste und zweite Ableitung, f^{(n)} die n-te Ableitung, df/dx die Ableitung nach x, df das totale Differential und ∂f/∂x eine partielle Ableitung. Integrale werden mit ∫ geschrieben, außerdem gibt es ∮ für Kurvenintegrale, ∬ für Oberflächenintegrale und ∭ für Volumenintegrale. In der Vektoranalysis steht ∇f für den Gradienten, ∇ · F für die Divergenz, ∇ × F für die Rotation, Δf für den Laplace-Operator und □f für den D’Alembert-Operator.

In der Stochastik und Statistik stehen n! für die Zahl der Permutationen von n Elementen, !n für fixpunktfreie Permutationen, n!! für echt involutorische Permutationen bei ungeradem n, Binomialkoeffizienten für Kombinationen ohne Wiederholung und Multinomialkoeffizienten für Anordnungen mehrerer Gruppen. P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A, P(A | B) die Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung B. E[X] ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable X, E[X | Y] ein bedingter Erwartungswert, Var[X] die Varianz, sd[X] die Standardabweichung, Cov[X,Y] die Kovarianz und ρ(X,Y) die Korrelation. X ∼ F bedeutet, dass X der Verteilung F folgt; X ⟂⟂ Y bedeutet stochastische Unabhängigkeit. In der Statistik bezeichnet x mit Tilde den Median, ein Überstrich den Mittelwert oder Stichprobenmittelwert und ein Dach über p einen Schätzwert für den Parameter p.