Euklidische Norm

Definition und Berechnung

Die euklidische Norm, auch Standardnorm oder 2-Norm genannt, ist eine häufig verwendete Vektornorm. In zwei- und dreidimensionalen euklidischen Räumen entspricht sie der anschaulichen Länge beziehungsweise dem Betrag eines Vektors. Sie wird mit |v|₂ oder ‖v‖₂ bezeichnet und mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet.

Für einen reellen Vektor v = (x,y) gilt in der Ebene: ‖v‖₂ = √(x² + y²).

Für einen reellen Vektor v = (x,y,z) im dreidimensionalen Raum gilt: ‖v‖₂ = √(x² + y² + z²).

Allgemein ist für v = (v₁,v₂,…,vₙ) ∈ ℝⁿ definiert: ‖v‖₂ := √(v₁² + v₂² + … + vₙ²) = (∑ᵢ₌₁ⁿ vᵢ²)¹ᐟ².

Im eindimensionalen Fall erhält man den Betrag einer reellen Zahl. Die Norm ist vom Standardskalarprodukt reeller Vektoren abgeleitet: ⟨v,w⟩ = v₁w₁ + v₂w₂ + … + vₙwₙ,

denn ‖v‖₂ = √⟨v,v⟩.

Für komplexe Vektoren v = (v₁,v₂,…,vₙ) ∈ ℂⁿ werden die Betragsquadrate der Komponenten verwendet: ‖v‖₂ := √(|v₁|² + |v₂|² + … + |vₙ|²) = (∑ᵢ₌₁ⁿ |vᵢ|²)¹ᐟ².

Die Betragsstriche dürfen hier nicht weggelassen werden. Das komplexe Standardskalarprodukt lautet: ⟨v,w⟩ = v̄₁w₁ + v̄₂w₂ + … + v̄ₙwₙ,

wobei v̄ᵢ die konjugierte komplexe Zahl zu vᵢ bezeichnet. Auch im komplexen Fall gilt ‖v‖₂ = √⟨v,v⟩.

Typische Beispiele

Für den reellen Vektor v = (3,−2,6) ∈ ℝ³ ergibt sich:

‖v‖₂ = √(3² + (−2)² + 6²) = √(9 + 4 + 36) = √49 = 7.

Für den komplexen Vektor v = (3,i,5−i) ∈ ℂ³ gilt:

‖v‖₂ = √(|3|² + |i|² + |5−i|²) = √(9 + 1 + 26) = √36 = 6.

Normaxiome

Die euklidische Norm erfüllt die drei Normaxiome für Vektoren v,w ∈ 𝕂ⁿ mit 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ:

• Definitheit: ‖v‖₂ = 0 ⇒ v = 0. Ein Vektor mit Länge Null ist also der Nullvektor.
• Absolute Homogenität: ‖α·v‖₂ = |α|·‖v‖₂ für α ∈ 𝕂. Wird jede Komponente mit α multipliziert, verändert sich die Länge um den Faktor |α|.
• Dreiecksungleichung oder Subadditivität: ‖v+w‖₂ ≤ ‖v‖₂ + ‖w‖₂. Die Länge der Summe ist höchstens so groß wie die Summe der Einzellängen.

Gleichheit in der Dreiecksungleichung gilt genau dann, wenn die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen. Der Beweis der Dreiecksungleichung beruht auf der Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |⟨v,w⟩| ≤ ‖v‖₂·‖w‖₂.

Einheitssphäre und besondere Eigenschaften

Die euklidische Norm ist eine spezielle p-Norm für p = 2 und heißt deshalb auch 2-Norm. Die Einheitssphäre ist die Menge aller Vektoren der Norm Eins: {v ∈ 𝕂ⁿ : ‖v‖₂ = 1}.

In zwei reellen Dimensionen ist sie ein Kreis, in drei Dimensionen eine Kugeloberfläche und in allgemeinen Dimensionen eine Sphäre. Die abgeschlossene Einheitskugel ist {v ∈ 𝕂ⁿ : ‖v‖₂ ≤ 1},

die offene Einheitskugel ist {v ∈ 𝕂ⁿ : ‖v‖₂ < 1}.

In zwei reellen Dimensionen ist die abgeschlossene Einheitskugel eine Kreisscheibe, in drei und höheren Dimensionen eine Kugel. Die euklidische Norm kann auch über ihre Einheitskugel als Minkowski-Funktional definiert werden.

Für alle v,w ∈ 𝕂ⁿ gilt die Parallelogrammgleichung: ‖v+w‖₂² + ‖v−w‖₂² = 2(‖v‖₂² + ‖w‖₂²).

Die euklidische Norm ist die einzige p-Norm mit dieser Eigenschaft; dies steht im Zusammenhang mit dem Satz von Jordan-von Neumann.

Außerdem ist sie als einzige p-Norm invariant unter unitären Transformationen. Ist U ∈ 𝕂ⁿˣⁿ eine unitäre Matrix im komplexen Fall oder eine orthogonale Matrix im reellen Fall, dann gilt: ‖Uv‖₂ = ‖v‖₂.

Die Norm ändert sich durch eine solche Transformation also nicht. Im reellen Fall sind Drehungen des Vektors um den Nullpunkt Beispiele. Diese Invarianz wird unter anderem bei der numerischen Lösung linearer Ausgleichsprobleme mit der Methode der kleinsten Quadrate und QR-Zerlegungen genutzt.

Winkel, Abstand und Topologie

Aus dem Standardskalarprodukt und der euklidischen Norm lässt sich für reelle Vektoren v,w ∈ ℝⁿ der Winkel φ definieren:

cos(φ) = ⟨v,w⟩/(‖v‖₂‖w‖₂).

Damit erhält man eine Verallgemeinerung des Kosinussatzes: ‖v+w‖₂² = ‖v‖₂² + ‖w‖₂² + 2‖v‖₂‖w‖₂ cos(φ).

Für Winkel zwischen komplexen Vektoren existieren mehrere unterschiedliche Definitionen. Zwei Vektoren v,w ∈ 𝕂ⁿ heißen orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist: ⟨v,w⟩ = 0. Für orthogonale Vektoren gilt die verallgemeinerte Form des Satzes des Pythagoras: ‖v+w‖₂² = ‖v‖₂² + ‖w‖₂².

Durch die Differenz zweier Vektoren wird der euklidische Abstand beziehungsweise die euklidische Metrik definiert:

d(v,w) = ‖v−w‖₂ = √(|v₁−w₁|² + … + |vₙ−wₙ|²).

Eine Metrik misst den Abstand zwischen zwei Vektoren. Die euklidische Metrik ist translationsinvariant, weil sie von einer Norm stammt.

Die euklidische Topologie ist die von dieser Norm beziehungsweise Metrik erzeugte Normtopologie. Grundlage sind die offenen Kugeln Uε(v) = {w ∈ 𝕂ⁿ : ‖v−w‖₂ < ε}.

Sie enthalten alle Vektoren, deren Abstand von v kleiner als ε ist. Mit solchen ε-Kugeln werden unter anderem Stetigkeit und Grenzwerte definiert. Eine Folge (vₙ) konvergiert genau dann gegen v, wenn ‖vₙ−v‖₂ → 0 für n → ∞. In 𝕂ⁿ sind alle Normen äquivalent zur euklidischen Norm und erzeugen daher dieselbe Topologie.

Verallgemeinerungen auf Matrizen, Folgen und Funktionen

Betrachtet man eine Matrix mit reellen oder komplexen Einträgen als einen entsprechend langen Vektor, erhält man die Frobeniusnorm.

Auf den Folgenraum ℓ² der quadratisch summierbaren Folgen (aₙ)ₙ ∈ 𝕂ᴺ wird die euklidische Norm durch Ersetzen der endlichen Summe durch eine unendliche Summe verallgemeinert:

‖(aₙ)‖ℓ² = (∑ₙ₌₁∞ |aₙ|²)¹ᐟ².

Der Raum ℓ² ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt ⟨(aₙ),(bₙ)⟩ℓ² = ∑ₙ₌₁∞ āₙ·bₙ.

Für den Funktionenraum L²(Ω) der auf Ω quadratisch integrierbaren Funktionen wird die Summe durch ein Integral ersetzt. Zunächst definiert man für f: Ω → 𝕂:

‖f‖𝓛²(Ω) = (∫Ω |f(x)|² dx)¹ᐟ².

Diese Größe ist zunächst nur eine Halbnorm, weil auch Funktionen, die sich nur auf einer Menge mit Lebesgue-Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, den Wert Null erhalten. Im Raum L²(Ω) betrachtet man deshalb Äquivalenzklassen [f] von Funktionen, die fast überall gleich sind, und definiert: ‖[f]‖L²(Ω) = ‖f‖𝓛²(Ω).

Auch L²(Ω) ist ein Hilbertraum. Sein Skalarprodukt lautet: ⟨f,g⟩L²(Ω) = ∫Ω f̄(x)·g(x) dx.

Die Konstruktion lässt sich vom Lebesgue-Maß auf allgemeine Maße erweitern.

Noch allgemeiner kann in einem beliebigen unendlichdimensionalen Vektorraum V mit einer Hamelbasis {xᵢ}ᵢ∈I jeder Vektor als endliche Linearkombination v = ∑ᵢ∈I aᵢxᵢ dargestellt werden. Dann ist ‖v‖₂ = (∑ᵢ∈I |aᵢ|²)¹ᐟ².

Die zugehörige Skalarproduktnorm wird durch ⟨v,w⟩ := ∑ᵢ∈I āᵢbᵢ induziert, wobei w = ∑ᵢ∈I bᵢxᵢ gilt. Gelegentlich wird auch eine von einem beliebigen Skalarprodukt auf einem reellen Skalarproduktraum induzierte Norm als euklidische Norm bezeichnet.