Duration

Begriff und Bedeutung

Die Duration ist im Finanzwesen eine Kennzahl für die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer eines zinstragenden Finanzinstruments oder Finanzprodukts. Gemeint ist der Zeitraum, in dem ein Anleger sein Kapital zwischen Kauf und Verkauf in einem Finanzierungstitel gebunden hat und es deshalb nicht für Konsum oder andere Finanzprodukte verwenden kann. Typische zinstragende Finanzinstrumente sind Anleihen und Termingelder.

Bei der Duration wird ein vollkommener Kapitalmarkt unterstellt. Dort kann jederzeit zu einem einheitlichen Kapitalmarktzins investiert werden. Die in Jahren gemessene Duration bezeichnet bei einem festverzinslichen Finanzprodukt den Zeitpunkt, an dem sich die Folgen einer Zinsänderung ausgleichen: Der durch die Zinsänderung veränderte Kurswert und die veränderten Zinseszinseffekte der wiederangelegten Zahlungen sichern wieder die ursprüngliche Rendite.

Die Duration ist außerdem ein gewichteter Mittelwert der Zahlungszeitpunkte eines Wertpapiers. Gewichtet wird jeder Zeitpunkt mit dem Anteil des Barwerts der jeweiligen Zins- und Tilgungszahlung am Gesamtbarwert aller Zahlungen.

Arten, Wirkungsweise und Annahmen

Frederick R. Macaulay entwickelte 1938 die einfache beziehungsweise grobe Duration, auch dirty duration genannt. Sie wird mit D_M bezeichnet und formal so definiert:

D_M = −(ΔBW/Δr) · ((1+r)/BW).

Dabei steht BW für den Barwert und r für die Rendite. Die Macaulay-Duration wird in Jahren gemessen.

Die abgeleitete oder modifizierte Duration nach Hicks wird durch Gewichtung der einfachen Duration mit dem Nominalzins gewonnen. John Richard Hicks entwickelte die entsprechende Formel 1939. Sie beschreibt die prozentuale Barwertänderung in Abhängigkeit von einer Zinsänderung:

D_mod = D_M · ((1+r)/(r/f)).

Dabei bezeichnet f die jährlichen Cashflows und r/f die jährliche Rendite.

Bei positiver Duration sinkt der Börsenkurs einer Anleihe, wenn die Marktrendite steigt. Eine negative Duration liegt dagegen vor, wenn der Kurs bei steigender Marktrendite steigt. Formal weist die Barwertfunktion dann eine positive Steigung auf; ein steigendes Zinsniveau erhöht in diesem Fall den Wert des Zahlungsstroms.

Das Duration-Konzept erklärt den Ausgleich zweier gegenläufiger Effekte. Ein Zinsanstieg senkt zunächst den Barwert der Anleihe. Gleichzeitig können die zukünftigen Kuponzahlungen wegen der Wiederanlageprämisse höher verzinst werden. Dadurch steigt der spätere Endwert. Bei einer Zinssenkung wirken die Effekte umgekehrt. Der Zeitpunkt, bis zu dem diese gegenläufigen Wirkungen den erwarteten Endwert wieder erreichen, wird als Duration bezeichnet.

Das Konzept beruht auf folgenden Modellannahmen:

• Die Zinsstrukturkurve ist flach, sodass alle Zahlungen mit einem einheitlichen, laufzeitunabhängigen Zinssatz abgezinst werden können.
• Das Marktzinsniveau verändert sich einmalig und unmittelbar nach dem Erwerb der Anleihe durch eine Parallelverschiebung der flachen Zinsstrukturkurve.
• Kuponzahlungen werden zum Marktzins r wiederangelegt.
• Es gibt keine Transaktionskosten und keine Ganzzahligkeitsprobleme.
• Steuern werden nicht berücksichtigt.

Herleitung und Spezialfall

Der Barwert einer Anleihe ergibt sich durch das Abzinsen ihrer zukünftigen Zahlungen:

P₀ = Σ(t=1 bis T) C_t/(1+r_t)^t = C₁/(1+r₁) + C₂/(1+r₂)^2 + … + C_T/(1+r_T)^T.

P₀ ist der Barwert im Betrachtungszeitpunkt t₀, C_t die Zahlung zum Zeitpunkt t in Jahren, r_t der für die Laufzeit t gültige Zinssatz und T das Laufzeitende beziehungsweise der Zeitpunkt der letzten Zahlung.

Unter der Annahme eines laufzeitunabhängigen Zinssatzes r mit r = r_t für alle t ergibt die Ableitung nach r:

∂P₀/∂r = −1/(1+r) · Σ(t=1 bis T) [t·C_t/(1+r)^t].

Dieser Ausdruck wird als Euro-Duration bezeichnet. Wird die Ableitung durch den Barwert P₀ geteilt, erhält man die relative Preisänderung:

(∂P₀/∂r)/P₀ = −1/(1+r) · Σ(t=1 bis T) [t·C_t/(1+r)^t] · 1/P₀.

Der unter der Summe stehende Ausdruck ist die Macaulay-Duration:

D_Mac = Σ(t=1 bis T) [t·C_t/(1+r)^t] · 1/P₀.

Für eine flache Zinsstrukturkurve, also r_t = r für alle t, und konstante Zahlungen C_t = C für alle t gilt mit q = 1/(1+r):

D_Mac = [1 − (T+1)q^T + Tq^(T+1)] / [(1−q)(1−q^T)].

Für r gegen 0 gilt insbesondere:

lim(r→0) D_Mac = (T+1)/2.

Kursänderung, modifizierte Duration und Portfolios

Die Duration entspricht einer Taylorreihenentwicklung der Wertänderung, die nach dem ersten linearen Glied abgebrochen wird. Für eine Anleihe gilt als Näherung:

ΔP/P = −D/(1+r) · Δr.

Die modifizierte Duration misst, um wie viel Prozent sich der Anleihekurs ändert, wenn sich das Marktzinsniveau um einen Prozentpunkt ändert. Sie beschreibt damit den durch eine marginale Zinssatzänderung ausgelösten Kurseffekt und kann als Elastizität des Anleihekurses gegenüber dem Marktzinssatz verstanden werden. Sie bezieht sich auf den Gesamtertrag einer Anleihe, also auf Tilgungen, Kuponzahlungen und den Zinseszinseffekt der Wiederanlage. Wegen der restriktiven Modellannahmen ist sie praktisch vor allem bei sehr kleinen Zinsänderungen anwendbar.

Der Artikel gibt für die modifizierte Duration folgende Beziehung an:

D_MD = D_Mac · 1/(1+r).

Für ein Portfolio wird zunächst die Duration jeder einzelnen Anleihe berechnet. Die Portfolioduration ist die nach dem Anteil am Portfoliogesamtwert gewichtete Summe:

D_PF = Σ(i=1 bis N) x_i · D_i.

Dabei ist D_PF die Duration des Portfolios, x_i der Anteil der Anleihe i am Portfoliogesamtwert, D_i die Duration der Anleihe i und N die Anzahl der verschiedenen Anleihen. Alternativ können die einzelnen Zahlungsströme zu einem Gesamtzahlungsstrom addiert und dessen Duration berechnet werden.

Eine Position ist gegen Zinsänderungsrisiken immunisiert, wenn die mit den Marktwerten gewichteten modifizierten Durationen der Long- und Short-Position übereinstimmen:

D(long) · Co(long) = D(short) · Co(short).

Co steht dabei für den Preis der Option und D für die Duration. Dieses Verfahren heißt duration matching. Eine so gesicherte Position kann als Nullkuponanleihe betrachtet werden.

Aussagekraft und Grenzen

Für die Zinssensitivität einer Anleihe reicht es nicht aus, nur die Gesamtlaufzeit zu betrachten. Eine Nullkuponanleihe mit einer einzigen Zahlung am Laufzeitende ist deutlich zinsempfindlicher als eine Standardanleihe gleicher Laufzeit mit jährlichen Kuponzahlungen. Entscheidend ist deshalb zusätzlich, wann die einzelnen Zahlungen anfallen. Die Duration verbindet Laufzeit und Zahlungszeitpunkte, indem sie jeden Zahlungszeitpunkt mit seinem relativen Beitrag zum Barwert gewichtet.

Eine höhere Duration deutet tendenziell auf eine höhere Zinssensitivität hin und zeigt zugleich eine längere durchschnittliche Kapitalbindung. Die Duration steigt, wenn der Kupon niedriger ist. Bei einer Nullkuponanleihe entspricht sie der Restlaufzeit.

Die lineare Duration-Näherung ist nicht vollständig exakt, weil sich Zinsen diskret ändern und die Beziehung zwischen Anleihekurs und Zinssatz nicht linear ist. Bei steigenden Zinsen wird der Kursrückgang überschätzt, bei fallenden Zinsen wird der Kursanstieg unterschätzt. Der Fehler ist bei kleinen Zinsänderungen gering, steigt bei größeren Änderungen aber deutlich an. Die Berücksichtigung des zweiten Taylorreihenglieds führt zum Konzept der Konvexität und kann diesen Fehler mindern.

Die Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve entspricht nicht vollständig realen Marktbedingungen, da Konditionsbeiträge Marktunvollkommenheiten zeigen. Sie kann mithilfe der Key Rate Duration aufgeweicht werden. Die Duration misst die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer, während die Konvexität das Marktverhalten einer Anleihe bei Zinsänderungen beschreibt.

Formeln und wirtschaftliche Anwendung

In der Zusammenfassung der Durationsberechnung werden für eine Anleihe mit Kupons c_i, Zahlungszeitpunkten t_i, letzter Laufzeit t_n und Verfallrendite ȳ folgende Formeln angegeben:

D_Euro = Σ(i=1 bis n−1) t_i c_i(1+ȳ)^(−(t_i+1)) + t_n(100+c_n)(1+ȳ)^(−(t_n+1)).

D_mod = [Σ(i=1 bis n−1) t_i c_i(1+ȳ)^(−(t_i+1)) + t_n(100+c_n)(1+ȳ)^(−(t_n+1))] / [Σ(i=1 bis n−1) c_i(1+ȳ)^(−(t_i+1)) + (100+c_n)(1+ȳ)^(−(t_n+1))].

Für D_Mac wird im Artikel derselbe Quotient angegeben:

D_Mac = [Σ(i=1 bis n−1) t_i c_i(1+ȳ)^(−(t_i+1)) + t_n(100+c_n)(1+ȳ)^(−(t_n+1))] / [Σ(i=1 bis n−1) c_i(1+ȳ)^(−(t_i+1)) + (100+c_n)(1+ȳ)^(−(t_n+1))].

Die Duration ist im Portfoliomanagement und Risikomanagement ein wichtiges Instrument zur Erfassung, Steuerung, Kontrolle und Prognose des Zinsänderungsrisikos. Bei sonst gleichen Bedingungen führt eine längere Laufzeit zu einer längeren gewichteten durchschnittlichen Kapitalbindungsdauer; eine höhere Duration bedeutet ein höheres Zinsänderungsrisiko.

Das Zahlenbeispiel des Artikels vergleicht Anleihen mit jährlich nachträglicher Zinszahlung. Die Referenzanleihe hat einen Nominalwert von 100 %, eine Fälligkeit von 5 Jahren, einen Nominalzins von 3 %, eine Verfallrendite von 4 %, einen Börsenkurs von 95,548 % und eine Macaulay-Duration von 4,709. Anleihe 2 hat eine Fälligkeit von 6 Jahren und sonst dieselben Werte; ihr Börsenkurs beträgt 94,758 % und ihre Macaulay-Duration 5,566. Anleihe 3 hat bei 5 Jahren Laufzeit einen Nominalzins von 2 %; Börsenkurs und Duration betragen 91,006 % und 4,797. Anleihe 4 hat bei 5 Jahren Laufzeit und 3 % Nominalzins eine Verfallrendite von 3 %; ihr Börsenkurs beträgt 100,0 % und ihre Macaulay-Duration 4,717. Die höchste Kapitalbindungsdauer weist Anleihe 2 auf.