Gewichtung

Grundidee der Gewichtung

Unter Gewichtung, auch Wichtung oder Wägungsschema genannt, versteht man die Bewertung einzelner Einflussgrößen eines mathematischen Modells nach ihrer Wichtigkeit oder Zuverlässigkeit. Wichtigere oder zuverlässigere Elemente erhalten größere Gewichte und beeinflussen dadurch das Ergebnis stärker.

Eine Gewichtung ist nur dann sinnvoll, wenn die Gewichtungsfaktoren angemessen gewählt sind. Sie können beispielsweise aufgrund politischer, wirtschaftlicher, technischer, physikalischer oder mathematischer Gesichtspunkte festgelegt werden. Unterschiedliche Interessen oder Annahmen können zu unterschiedlichen Gewichten und damit zu vollständig verschiedenen Gesamtergebnissen führen. Gewichtete Ergebnisse lassen sich deshalb nur beurteilen, wenn die zugrunde liegenden Interessen, Voraussetzungen und Berechnungen bekannt sind.

Gewichteter Mittelwert

Werden die Daten x₁, x₂, x₃, …, xₙ mit den Gewichten g₁, g₂, g₃, …, gₙ versehen, lautet der gewichtete Mittelwert:

m = (∑ᵢ xᵢgᵢ) / (∑ᵢ gᵢ) = (x₁·g₁ + x₂·g₂ + … + xₙ·gₙ) / (g₁ + g₂ + … + gₙ).

Jeder Wert wird zunächst mit seinem Gewicht multipliziert. Die gewichteten Werte werden addiert und anschließend durch die Summe aller Gewichte geteilt.

Die im Artikel angegebene Standardabweichung beträgt:

σₘ = √(∑ᵢ gᵢσᵢ² / ((∑ᵢ gᵢ) − 1)) mit σᵢ = m − xᵢ.

Beispiel: Ein Lehrer gewichtet die dritte von vier Klassenarbeiten doppelt. Für die Noten 2, 4, 3, 2 und die Gewichte 1, 1, 2, 1 ergibt sich der gewichtete Mittelwert zu

(1·2 + 1·4 + 2·3 + 1·2) / (1 + 1 + 2 + 1) = 14/5 = 2,8.

Ohne Gewichtung beträgt der Mittelwert

(1·2 + 1·4 + 1·3 + 1·2) / (1 + 1 + 1 + 1) = 11/4 = 2,75.

Die doppelte Gewichtung der Note 3 verschiebt den Mittelwert nach oben, also zur höheren Zahl hin.

Schulbeispiel zur Bedeutung von Gewichten

Für die Aufnahme in ein technisches Gymnasium soll die Punktzahl in Mathematik stärker zählen als die Punktzahl in Geschichte. Mathematik erhält deshalb das Gewicht 2, Geschichte das Gewicht 1. Die gewichtete Punktzahl wird berechnet, indem beide Ergebnisse mit ihren Gewichten multipliziert, addiert und durch die Summe der Gewichte, hier 3, geteilt werden.

• Schüler A erreicht 80 Punkte in Mathematik und 40 Punkte in Geschichte. Seine Rechnung lautet: (80·2 + 40·1) / 3 = 200/3 = 66,6 gewichtete Punkte.

• Schüler B erreicht 40 Punkte in Mathematik und 80 Punkte in Geschichte. Seine Rechnung lautet: (40·2 + 80·1) / 3 = 160/3 = 53,3 gewichtete Punkte.

Schüler A hat damit bessere Chancen auf eine Aufnahme. Würde Mathematik wie Geschichte nur mit dem Faktor 1 gewichtet, hätten beide dieselben Chancen und jeweils (80 + 40) / 2 = 60 Punkte.

Arten von Gewichten

Bei der empirischen Unterscheidung werden zwei Formen genannt:

• Designgewichtung bildet disproportional geschichtete Stichprobenziehungen ab.

• Redressment, auch Nachgewichtung genannt, passt eine Stichprobe nachträglich an bekannte Randverteilungen an. Dies kann beispielsweise bei systematischen Verzerrungen durch nichtzufällige Ausfälle erforderlich sein.

Bei der mathematischen Unterscheidung werden folgende Gewichte genannt:

• Häufigkeitsgewichte (Frequency-Weights) geben an, wie oft eine Beobachtung oder Ausprägung im Datensatz vorkommt.

• Analytische Gewichte (Analytic Weights) geben an, wie viele Fälle einem Aggregatmerkmal zuzurechnen sind. Sie sind Häufigkeitsgewichte, die auf die Stichprobengröße normiert wurden.

• Wahrscheinlichkeitsgewichte (Probability-Weights) berücksichtigen die Auswahlwahrscheinlichkeit einer Beobachtung. Sie entsprechen der Inversen dieser Auswahlwahrscheinlichkeit.

• Importance-Weights werden ebenfalls als mathematischer Gewichtstyp aufgeführt.

Anwendungsbereiche

Bei unregelmäßig durchgeführten Messungen verhindert Gewichtung, dass häufig gemessene Zeiträume das Ergebnis unangemessen stark bestimmen. Im Beispiel bleibt der pH-Wert eines Sees fünf Jahre lang bei 7,0. Im sechsten Jahr wird zunächst ein pH-Wert von 9,0 gemessen und anschließend 15 Tage lang täglich gemessen. Der ungewichtete Durchschnitt würde fälschlich 8,5 betragen. Werden die jährlichen Messungen 365-mal so hoch wie die täglichen Messungen gewichtet, ergibt sich ein gewichteter Durchschnitt von 7,02, der den längeren Zeitraum mit pH 7,0 besser berücksichtigt.

Bei statistisch streuenden physikalischen Größen sollen Werte entsprechend ihrer Streuung gewichtet werden. Hat der i-te Wert die Streuung σᵢ², lautet die zugehörige Gewichtung gᵢ = 1/σᵢ². Die Standardabweichung des Mittelwerts vereinfacht sich dann zu

σₘ = 1 / √(∑ᵢ 1/σᵢ²).

In der Messtechnik können verschiedene Messwerte mit den Kehrwerten ihrer Unsicherheiten gewichtet werden. Messwerte mit kleineren Unsicherheiten erhalten dadurch bei weiteren Berechnungen einen stärkeren Einfluss.

Weitere Anwendungen sind:

• In der Volkswirtschaft werden Wägungsschemata insbesondere für Warenkörbe und damit für Preisindizes sowie für effektive Wechselkurse verwendet.

• Bei Prüfungen werden Einzelergebnisse aus mehreren Fächern häufig mit bestimmten Gewichtungen zu einem Gesamtergebnis zusammengefasst. Bei Abschlussprüfungen in anerkannten Ausbildungsberufen in Deutschland legt meistens die Ausbildungsordnung die Gewichtungsfaktoren fest; in Einzelfällen gilt die jeweilige Prüfungsordnung.

• Beim maschinellen Lernen werden Merkmale, also Eingangsgrößen für eine Entscheidungsfunktion, gewichtet. Modelle wie das Perzeptron lernen, wie stark einzelne Merkmale für bestimmte Antworten sprechen; daraus entsteht eine gewichtete Summe. In komplexeren nichtlinearen Modellen wie neuronalen Netzwerken werden Merkmale innerhalb mehrerer aufeinanderfolgender „versteckter Schichten“ gewichtet. Die gelernten Gewichte lassen sich dort nicht ohne Weiteres der Wichtigkeit einzelner Merkmale zuordnen. Mit der Interpretierbarkeit solcher Modelle befasst sich die Explainable Artificial Intelligence.