Dreiecksungleichung

Grundidee im Dreieck

Die Dreiecksungleichung besagt: In einem Dreieck ist jede Seite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten. Für Seitenlängen a, b und c gilt

c ≤ a+b.

Als Abstandsregel bedeutet dies: Der direkte Weg von A nach B ist nie länger als ein Weg von A über C nach B. Gleichheit ist nur beim entarteten Dreieck möglich, also wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen und a sowie b Teilstrecken von c sind.

Aus den entsprechenden Ungleichungen für alle Seiten folgt die vollständige Abschätzung

|a-b| ≤ c ≤ a+b.

Die linke Seite heißt auch umgekehrte Dreiecksungleichung. Die Dreiecksungleichung ist grundlegend, weil sie Abstands- und Betragsfunktionen charakterisiert und deshalb als Axiom abstrakter Abstände verwendet wird.

Sonderformen in der Geometrie

In einem rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlängen a und b sowie Hypotenusenlänge c gilt zusätzlich

a+b ≤ c√2.

Für sphärische Dreiecke gilt die gewöhnliche Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht. Sie gilt jedoch für eulersche Dreiecke, deren jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist. In der dargestellten Situation kann zwar |a-b| ≤ c₁ ≤ a+b gelten, während für eine andere Seite c₂ > a+b gilt.

Reelle und komplexe Zahlen

Für reelle Zahlen a und b lautet die Dreiecksungleichung für den Betrag:

|a+b| ≤ |a|+|b|.

Der Betrag |a| ist der Abstand einer reellen Zahl von 0. Der Beweis unterscheidet die Fälle a+b ≥ 0 und a+b < 0. Im ersten Fall ist |a+b|=a+b und a+b ≤ |a|+|b|. Im zweiten Fall ist |a+b|=-a-b und ebenfalls -a-b ≤ |a|+|b|.

Daraus folgt die umgekehrte Form für alle x, y ∈ ℝ:

||x|-|y|| ≤ |x±y| ≤ |x|+|y|.

Für komplexe Zahlen gilt entsprechend

|z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|

und damit für alle z₁, z₂ ∈ ℂ ebenfalls

||z₁|-|z₂|| ≤ |z₁±z₂| ≤ |z₁|+|z₂|.

Ein Beweis der komplexen Form verwendet nach dem Quadrieren die komplexe Konjugation und die Abschätzung |u| ≤ √(u²+v²) für z=u+iv.

Summen, Integrale und Vektoren

Durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung oder vollständige Induktion erhält man für reelle oder komplexe Zahlen xᵢ:

|∑ᵢ₌₁ⁿ xᵢ| ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ|.

Für eine Riemann-integrierbare Funktion f:[a,b]→ℝ gilt die analoge Integralungleichung:

|∫ₐᵇ f(x) dx| ≤ ∫ₐᵇ |f(x)| dx.

Sie gilt auch für komplexwertige Funktionen f:[a,b]→ℂ. Dazu kann eine komplexe Zahl α mit |α|=1 so gewählt werden, dass α∫ₐᵇf(x)dx=|∫ₐᵇf(x)dx|. Dann wird die reelle Komponente von αf(x) durch |f(x)| abgeschätzt.

Für Vektoren lautet die Regel

|⃗a+⃗b| ≤ |⃗a|+|⃗b|.

Sie folgt aus der Definition der Vektorlänge, der Distributivität des Skalarprodukts und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ⃗a·⃗b ≤ |⃗a|·|⃗b|. Auch für Vektoren gelten

||⃗a|-|⃗b|| ≤ |⃗a±⃗b| ≤ |⃗a|+|⃗b|

sowie |∑ᵢ₌₁ⁿ⃗aᵢ| ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ|⃗aᵢ|.

Beträge und Normen

Für einen Körper K ist die Dreiecksungleichung eine der Forderungen an eine Betragsfunktion φ:

φ(x+y) ≤ φ(x)+φ(y) für alle x,y ∈ K.

Gilt φ(n) ≤ 1 für alle ganzen n=1+…+1, wobei 1 n-mal addiert wird, heißt der Betrag nichtarchimedisch. Andernfalls heißt er archimedisch. Nichtarchimedische Beträge erfüllen die stärkere, ultrametrische Dreiecksungleichung

φ(x+y) ≤ max(φ(x),φ(y)).

Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

In einem normierten Raum (X,||·||) ist

||x+y|| ≤ ||x||+||y||

eine definierende Eigenschaft der Norm. Deshalb gelten dort auch

|||x||-||y||| ≤ ||x±y|| ≤ ||x||+||y||

und ||∑ᵢ₌₁ⁿxᵢ|| ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿ||xᵢ||. Im Spezialfall der Lᵖ-Räume heißt diese Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung und wird mit der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Abstände in metrischen Räumen

Ein metrischer Raum (X,d) besitzt eine abstrakte Abstandsfunktion d. Als Axiom muss für alle x,y,z ∈ X gelten:

d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y).

Die Entfernung von x nach y ist also höchstens so groß wie ein Umweg über z. Daher gilt in jedem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung

|d(x,z)-d(z,y)| ≤ d(x,y).

Für eine Kette beliebiger Punkte xᵢ ∈ X folgt schließlich

d(x₀,xₙ) ≤ ∑ᵢ₌₁ⁿd(xᵢ₋₁,xᵢ).

Damit lässt sich der direkte Abstand durch die Summe der Abstände entlang eines beliebigen Weges abschätzen.