Schriftliche Division

Grundidee und Voraussetzungen

Die schriftliche Division ist ein Algorithmus, mit dem man auf dem Papier eine Zahl durch eine andere Zahl teilt. Die Zahl, die geteilt wird, heißt Dividend; die Zahl, durch die geteilt wird, heißt Divisor. Der Divisor darf nicht 0 sein. Als Ergebnis entstehen ein Quotient und gegebenenfalls ein Divisionsrest. Für das Verfahren braucht man vor allem das Einmaleins und die schriftliche Subtraktion.

Die praktische Bedeutung der schriftlichen Division ist seit der allgemeinen Verfügbarkeit von Taschenrechnern gering. Trotzdem wird sie im Elementarunterricht gelehrt, meist in der 4. Jahrgangsstufe der Grundschule. Häufig lernen Kinder dort nur die Division durch einstellige Divisoren. Ob dieser Lernstoff sinnvoll ist, wird kontrovers diskutiert.

Standardverfahren

Beim schriftlichen Dividieren wird die Aufgabe in der Form „Dividend : Divisor =“ aufgeschrieben. Rechts vom Gleichheitszeichen entsteht Schritt für Schritt der Quotient. Hilfreich ist eine Tabelle, in der jede mögliche Ziffer von 0 bis 9 mit dem Divisor multipliziert ist.

Man beginnt mit der am weitesten links stehenden Ziffer des Dividenden. Zu diesem abgespaltenen Teil sucht man in der Hilfstabelle das größte Produkt, das höchstens so groß ist wie dieser Teil. Die zugehörige Ziffer wird als nächste Ziffer des Quotienten notiert. Dann wird das gefundene Produkt unter den abgespaltenen Teil geschrieben und subtrahiert.

Wenn im Dividenden noch Ziffern übrig sind, wird an den Rest die nächste Ziffer des Dividenden rechts angehängt. Dieser neue Teil wird wieder durch den Divisor geteilt. Das Verfahren wird wiederholt, bis keine ungenutzten Ziffern mehr vorhanden sind. Dann steht rechts der Quotient; der letzte übrig gebliebene abgespaltene Teil ist der Divisionsrest.

Division mit Rest und richtige Schreibweise

Ein Beispiel ist 351 : 4. Die Hilfstabelle enthält die Produkte 4 · 0 = 0 bis 4 · 9 = 36. Zuerst wird die 3 betrachtet. Das größte Produkt, das höchstens 3 ist, ist 0, daher beginnt der Quotient mit 0. Dann wird die nächste Ziffer heruntergeholt: Aus dem Rest 3 und der Ziffer 5 wird 35. Das größte passende Produkt ist 32 = 4 · 8, also wird 8 angeschrieben. Es bleibt 3. Danach wird die 1 heruntergeholt, es entsteht 31. Das größte passende Produkt ist 28 = 4 · 7. Es bleibt wieder 3. Der Quotient ist 087, der Rest ist 3. Führende Nullen schreibt man normalerweise nicht, also lautet das Ergebnis „87 Rest 3“.

Die Schreibweise „351 : 4 = 87 Rest 3“ ist im mathematischen Sinn keine Gleichung, weil „87 Rest 3“ keine Zahl ist. Das sieht man daran, dass auch 438 : 5 = 87 Rest 3 gilt, obwohl 351 : 4 und 438 : 5 nicht dieselbe rationale Zahl sind. Bei 351 : 4 bedeutet der Rest 3 nämlich 3 Viertel, bei 438 : 5 bedeutet er 3 Fünftel. Mathematisch korrekt kann man schreiben: 351 : 4 = 87 + 3/4 und 438 : 5 = 87 + 3/5.

Ohne Bruchrechnung kann man die Division mit Rest auch in der Form Dividend = Divisor · Quotient + Rest schreiben. Für das Beispiel ergibt sich 351 = 4 · 87 + 3. Für 438 : 5 lautet die entsprechende Schreibweise 438 = 5 · 87 + 3. Diese Form passt zu dem Verständnis der Division mit Rest in der Zahlentheorie und in höheren Bereichen der Mathematik.

Mehrstellige Divisoren

Ist der Divisor größer als 10, reicht das kleine Einmaleins meist nicht aus, um die nächste Ziffer des Quotienten sicher zu bestimmen. Dann verwendet man eine Hilfstabelle mit den Produkten des Divisors mit den Ziffern 0 bis 9. Beim Beispiel 13063 : 32 enthält die Tabelle unter anderem 32 · 4 = 128, 32 · 8 = 256 und 32 · 9 = 288.

Für 13063 : 32 betrachtet man zuerst 130. Da 32 · 4 = 128 ist, wird 4 als erste Ziffer des Quotienten notiert, und es bleibt 2. Wird die 6 heruntergeholt, entsteht 26. 26 : 32 ergibt 0, also wird im Quotienten eine 0 ergänzt. Danach wird die 3 heruntergeholt, sodass 263 entsteht. Da 32 · 8 = 256 ist, wird 8 angeschrieben. Es bleibt 7. Das Ergebnis ist 13063 : 32 = 408 Rest 7.

Dies kann auch als Bruch oder in der Restform geschrieben werden: 13063 : 32 = 408 7/32 oder 13.063 = 32 · 408 + 7. In der Schreibweise des Artikels steht 13.063 mit Punkt als Tausendertrennzeichen.

Nachkommastellen und Dezimalzahlen

Wenn man statt einer ganzen Zahl mit Rest einen Dezimalbruch erhalten möchte, schreibt man nach dem bisherigen Ergebnis ein Komma und rechnet weiter. An den jeweils letzten Rest wird rechts eine 0 angehängt. Beim Beispiel 950 : 4 entsteht zunächst 237 mit einem Rest von 2. Statt „Rest 2“ zu schreiben, setzt man ein Komma, hängt an den Rest eine 0 an und rechnet 20 : 4 = 5. Damit ist 950 : 4 = 237,5.

Ist der Dividend selbst eine Dezimalzahl und der Divisor eine natürliche Zahl, prüft man zuerst den ganzzahligen Teil. Lässt er sich durch den Divisor teilen, rechnet man zunächst wie gewohnt. Sobald eine Ziffer hinter dem Komma des Dividenden heruntergeholt wird, setzt man im Ergebnis ein Komma. Ist der ganzzahlige Teil kleiner als der Divisor, schreibt man im Ergebnis zuerst 0, dann ein Komma, und holt die Nachkommastellen nacheinander herunter. Beim Beispiel 1,8 : 5 wird aus 1 : 5 zunächst 0,...; dann wird die 8 heruntergeholt, sodass 18 : 5 = 3 mit Rest 3 entsteht. Danach wird eine unsichtbare 0 heruntergeholt: 30 : 5 = 6. Also gilt 1,8 : 5 = 0,36.

Ist auch der Divisor eine Dezimalzahl, muss zuerst das Komma verschoben werden, damit der Divisor eine ganze Zahl wird. Das Komma wird beim Dividenden und beim Divisor gleichsinnig nach rechts verschoben, und zwar um gleich viele Stellen. Hat der Dividend zu wenige Nachkommastellen, werden Nullen angefügt. Danach wird wie üblich dividiert. Beispiel: 4 : 1,6 wird zu 40 : 16, und das Ergebnis ist 2,5.

Periodische Ergebnisse und weitere Verfahren

Manche Divisionen ergeben keinen endlichen Dezimalbruch, sondern einen periodischen Dezimalbruch. Das ist ein unendlicher Dezimalbruch, bei dem sich Dezimalstellen wiederholen. Beim Beispiel 1307 : 15 erhält man zunächst 87 Rest 2. Nach dem Komma wird an den Rest eine 0 angehängt: 20 : 15 = 1 mit Rest 5. Dann wird wieder eine 0 angehängt: 50 : 15 = 3 mit Rest 5. Weil der Rest 5 erneut auftritt und danach immer nur noch Nullen heruntergeholt werden, wiederholt sich der Ablauf. Es entsteht 1307 : 15 = 87,1333... Dies schreibt man als 87,1\overline{3} und liest „87 Komma 1 Periode 3“.

Für Fortgeschrittene beschreibt der Artikel eine verkürzte Schreibweise. Dabei werden Multiplikation und Subtraktion teilweise in einem Schritt ausgeführt. Beim einstelligen Divisor 351 : 4 wird etwa direkt gedacht: 8 · 4 = 32, plus 3 ist 35; nur der Rest 3 wird notiert. Danach wird die 1 heruntergeholt, und 31 : 4 ergibt 7 mit Rest 3. Ähnlich kann man bei mehrstelligen Divisoren wie 13063 : 32 die halbschriftliche Multiplikation und die Subtraktion miteinander verschränken.

Als Alternative nennt der Artikel die „Big 7 Division“ mit dem Scaffolding Algorithmus, die im englischsprachigen Raum in Grundschulen häufiger verwendet und erwähnt wird. Sie macht das Prinzip der wiederholten Subtraktion deutlicher und erlaubt einfache Dezimalschritte oder beliebige Vielfache des Divisors. Beim Beispiel 4720 : 36 werden nacheinander Vielfache von 36 subtrahiert, etwa 3600, 360, 360, 360 und 36. Die rechts notierten Werte 100, 10, 10, 10 und 1 werden addiert. Das ergibt 131 Rest 4. Der Rest sollte verständlich als Bruch 4/36, dezimal oder in der Schreibweise Zähler-Bruchstrich-Nenner angegeben werden.