Linearisierung

Grundidee und Nutzen

Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen beziehungsweise lineare Differentialgleichungen angenähert. Das ist nützlich, weil lineare Zusammenhänge einfacher zu berechnen sind und für lineare Systeme eine umfangreichere Theorie vorhanden ist.

Die Näherung gilt vor allem in der Umgebung eines ausgewählten Punktes, des Arbeitspunkts. Je kleiner die Abweichungen von diesem Punkt sind, desto besser ist im Allgemeinen die lineare Beschreibung.

Linearisierung mit einer Tangente

Für eine Funktion einer Variablen ist die Tangente im Punkt x₀ die einfachste lineare Näherung. Ihre Gleichung lautet:

yₜ = f(x₀) + (df/dx|ₓ₀) · (x − x₀).

Dabei ist df/dx|ₓ₀ die Ableitung von f an der Stelle x₀, also der Anstieg der Tangente. Die Tangente approximiert die Originalfunktion um x₀. Liegt die Funktion analytisch vor, kann die Tangentengleichung direkt berechnet werden.

Der relative Fehler der Approximation ist:

F(x) = |(f(x) − yₜ(x)) / f(x)|.

Für f(x) = sin(x) ergibt sich:

y(x) = sin(x₀) + cos(x₀) · (x − x₀).

Die Tangente entspricht dem linearen Glied, also dem ersten Teil des Taylorpolynoms der Funktion.

Multiplikation am Arbeitspunkt

In Elektrotechnik und Regelungstechnik können nichtlineare Systeme näherungsweise durch lineare Systeme beschrieben werden. Eine einfache Methode ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt (AP). In einem Signalflussplan kann dadurch beispielsweise eine Multiplikationsstelle näherungsweise durch eine Additionsstelle ersetzt werden.

Für y = x₁ · x₂ schreibt man die Eingänge als x₁ = x₁,AP + Δx₁ und x₂ = x₂,AP + Δx₂. Nach dem Ausmultiplizieren gilt:

y = x₁,AP · x₂,AP + x₁,AP · Δx₂ + x₂,AP · Δx₁ + Δx₁ · Δx₂.

Sind die Abweichungen Δxᵢ vom Arbeitspunkt klein, wird das Produkt eᵧ = Δx₁ · Δx₂ vernachlässigt. Damit lautet die linearisierte Multiplikation:

y ≈ x₁,AP · x₂,AP + x₁,AP · Δx₂ + x₂,AP · Δx₁.

Beispiel: Für x₁ = 2,4 und x₂ = 110 ist das genaue Produkt y = 264. Mit x₁,AP = 2, x₂,AP = 100, Δx₁ = 0,4 und Δx₂ = 10 erhält man y ≈ 2 · 100 + 2 · 10 + 100 · 0,4 = 260. Der ausgelassene Fehler ist eᵧ = 0,4 · 10 = 4.

Division am Arbeitspunkt

Für den Quotienten y = x₁/x₂ setzt man ebenfalls xᵢ = xᵢ,AP + Δxᵢ. Dann gilt:

y = (x₁,AP/x₂,AP) · (1 + Δx₁/x₁,AP) / (1 + Δx₂/x₂,AP).

Zur Näherung wird die geometrische Reihe verwendet. Für q = −Δx₂/x₂,AP und |q| ≪ 1 folgt:

1 / (1 + Δx₂/x₂,AP) ≈ 1 − Δx₂/x₂,AP.

Die linearisierte Division lautet daher:

y ≈ (x₁,AP/x₂,AP) · (1 + Δx₁/x₁,AP − Δx₂/x₂,AP).

Nichtlineare Differentialgleichungen

Ein Beispiel ist die Differentialgleichung eines Pendels:

ÿ(t) + D · ẏ(t) + ω² sin(y(t)) = 0.

Der nichtlineare Teil ist sin(y). Für kleine Schwankungen um den Arbeitspunkt y₀ wird er angenähert durch:

sin(y) ≈ sin(y₀) + cos(y₀) · (y − y₀).

Für y₀ = 0 gilt sin(y) ≈ y. Damit wird die Gleichung zu:

ÿ(t) + D · ẏ(t) + ω² · y(t) = 0.

Diese linearisierte Differentialgleichung ist meist deutlich einfacher zu lösen. Für ein mathematisches Pendel mit D = 0 lässt sie sich durch einfache Exponentialfunktionen lösen, während die nichtlinearisierte Gleichung nicht analytisch lösbar ist.

Tangentialebene für zwei Variablen

Eine Funktion f(x₁, x₂) wird in der Umgebung des Punktes (x₁₀, x₂₀) durch ihre Tangentialebene angenähert. Mit der Taylor-Formel ergibt sich:

y = f(x₁₀, x₂₀) + ∂f(x₁, x₂)/∂x₁|₍ₓ₁₀,ₓ₂₀₎ · (x₁ − x₁₀) + ∂f(x₁, x₂)/∂x₂|₍ₓ₁₀,ₓ₂₀₎ · (x₂ − x₂₀).

Die partiellen Ableitungen geben an, wie sich die Funktion verändert, wenn jeweils nur eine der beiden Variablen verändert wird.

Für f(x₁, x₂) = x₁ · x₂ lautet die Tangentialebene:

y = x₁₀ · x₂₀ + x₂₀ · (x₁ − x₁₀) + x₁₀ · (x₂ − x₂₀).