Totales Differential

Begriff und Grundidee

Das totale Differential, auch vollständiges Differential, ist das Differential einer total differenzierbaren Funktion, besonders einer Funktion mehrerer Variablen. Für f: M → ℝ schreibt man

df = ∑ᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂xᵢ) dxᵢ.

Dabei ist M eine offene Teilmenge von ℝⁿ oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Das Symbol ∂ bezeichnet partielle Ableitungen, während d für das totale Differential verwendet wird. Entscheidend ist: Die Existenz aller partiellen Ableitungen allein genügt nicht; vorausgesetzt wird die totale Differenzierbarkeit.

In der traditionellen, besonders in Natur- und Wirtschaftswissenschaften verbreiteten Deutung stehen Größen wie dx und df für infinitesimale, also unendlich kleine Änderungen. In der modernen Mathematik ist df dagegen eine Differentialform, genauer eine 1-Form. Am Punkt x ist df(x) eine lineare Abbildung, die jedem Richtungsvektor v die Richtungsableitung von f in Richtung v zuordnet. In diesem Sinn sind „totales Differential“ und „totale Ableitung“ gleichbedeutend.

Berechnung und Kettenregel

Für eine Funktion f(x,y) zweier unabhängiger Variablen lautet das totale Differential

df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy.

Es enthält die gesamte Ableitungsinformation, während ∂f/∂x und ∂f/∂y nur die Änderungen in Richtung der jeweiligen Koordinatenachse beschreiben. Die Summanden (∂f/∂x) dx und (∂f/∂y) dy werden gelegentlich partielle Differentiale genannt.

Hängen x und y über x = g(t) und y = h(t) von t ab, so gilt dx = g′(t) dt und dy = h′(t) dt. Einsetzen ergibt

df = [(∂f/∂x)g′ + (∂f/∂y)h′] dt.

Daher ist

df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt) = (∂f/∂x)ẋ + (∂f/∂y)ẏ.

Dies ist die mehrdimensionale Kettenregel. Allgemein gilt für eine differenzierbare Funktion f: ℝⁿ → ℝ und einen differenzierbaren Weg g: ℝ → ℝⁿ:

d/dt (f ∘ g)(t) = df(g(t)) = ∇f(g(t)) · g′(t) = ∑ᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂xᵢ)(g(t))gᵢ′(t).

Eine entsprechende Aussage gilt auch auf Mannigfaltigkeiten.

Partielle und totale Zeitableitung in der Physik

In der Mechanik kann eine Größe f(t,x,y) sowohl unmittelbar von der Zeit als auch von zeitabhängigen Ortskoordinaten x = g(t) und y = h(t) abhängen. Die unmittelbare Abhängigkeit von der ersten Variablen t heißt explizite Zeitabhängigkeit. Die Abhängigkeit über die Ortskoordinaten heißt implizite Zeitabhängigkeit.

Die partielle Zeitableitung ∂f/∂t wird bei festen x und y gebildet und erfasst nur die explizite Zeitabhängigkeit. Die totale Zeitableitung der zusammengesetzten Funktion t ↦ f(t,g(t),h(t)) berücksichtigt dagegen beide Arten:

d/dt f(t,g(t),h(t)) = ∂f/∂t + (∂f/∂x)g′ + (∂f/∂y)h′ = ∂f/∂t + (∂f/∂x)ẋ + (∂f/∂y)ẏ.

Ein Beispiel liefert die Fluidmechanik. T(t,x₁,x₂,x₃) sei die Temperatur zur Zeit t am Ort x = (x₁,x₂,x₃). Die partielle Ableitung ∂T/∂t beschreibt die Temperaturänderung an einem festen Ort. Für ein Teilchen, das sich mit der Strömung bewegt, müssen auch seine Ortsänderungen berücksichtigt werden:

dT = (∂T/∂t)dt + (∂T/∂x₁)dx₁ + (∂T/∂x₂)dx₂ + (∂T/∂x₃)dx₃,

dT/dt = ∂T/∂t + ∑ᵢ₌₁³ (∂T/∂xᵢ)(dxᵢ/dt).

Differential als lineare Abbildung und Approximation

Ist M eine offene Teilmenge von ℝⁿ und f: M → ℝ differenzierbar, so ist das totale Differential an einem Punkt p die lineare Abbildung df(p): ℝⁿ → ℝ mit

df(p) = ∂ᵥf(p) = (d/dt)f(p+tv)|ₜ₌₀ = ∑ᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂xⁱ)(p)vⁱ.

Die Linearformen dxⁱ ordnen einem Vektor v = (v¹,…,vⁿ) seine i-te Komponente zu: dxⁱ(v) = vⁱ. Sie bilden die duale Basis. Deshalb lässt sich schreiben

df(p) = ∑ᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂xⁱ)(p) dxⁱ

und mithilfe des Gradienten

df(p) = ∇f(p) · v.

Diese lineare Abbildung liefert zugleich die beste lineare Näherung der Funktionsänderung. Für ein kleines h = (h₁,…,hₙ) gilt

f(p+h) − f(p) ≈ ∑ᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂xᵢ)(p)hᵢ = df(p).

In der modernen Deutung sind df(p) und dxᵢ selbst Funktionen beziehungsweise Linearformen. In der traditionellen Deutung stehen dxᵢ für kleine Änderungen; dann schreibt man

Δf = f(p+dx) − f(p) ≈ df

oder

f(p+dx) ≈ f(p) + df.

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist df(p): TₚM → ℝ eine lineare Abbildung auf dem Tangentialraum. Für den Tangentialvektor v = γ̇(0) einer Kurve γ mit γ(0) = p gilt

df(p) = (d/dt)(f ∘ γ)(t)|ₜ₌₀.

Damit ist df(p) ein Element des Kotangentialraums Tₚ*M. In lokalen Koordinaten y¹,…,yⁿ lautet die Darstellung

df(p) = ∑ᵢ₌₁ⁿ (∂f/∂yⁱ)(p) dyⁱ.

Fasst man Tangentialvektoren als Derivationen auf, gilt df(p) = v(f).

Exakte Formen und Integrabilität

Jedes totale Differential A = df ist eine 1-Form und kann in der Gestalt

A(p) = ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢ(p) dxⁱ

geschrieben werden. Eine 1-Form, die das totale Differential einer Funktion ist, heißt exakt. Ihre Cartan-Ableitung ist die 2-Form

dA(p) = ∑ᵢ₌₁ⁿ ∑ⱼ₌ᵢ₊₁ⁿ ∂aⱼ/∂xᵢ − ∂aᵢ/∂xⱼ dxⁱ ∧ dxʲ.

Ist A = df für eine C²-Funktion f, so gilt aᵢ = ∂f/∂xᵢ. Nach dem Satz von Schwarz stimmen die gemischten zweiten Ableitungen überein, daher ist dA = 0. Jede exakte Form ist somit geschlossen.

Lokal gilt nach dem Poincaré-Lemma auch die Umkehrung: Ist dA = 0, so gibt es in einer Umgebung jedes Punktes eine Stammfunktion f mit A = df. Die Bedingung dA = 0 heißt deshalb Integrabilitätsbedingung. Ausgeschrieben lautet sie für alle i und j:

∂aⱼ/∂xᵢ = ∂aᵢ/∂xⱼ.

Im Hinblick auf physikalische Anwendungen wird dies auch verallgemeinerte Rotationsbedingung genannt. Unter geeigneten topologischen Voraussetzungen gibt es eine globale Stammfunktion, etwa wenn der Definitionsbereich ℝⁿ, sternförmig oder einfach zusammenhängend ist. Auf einer Mannigfaltigkeit M ist die Aussage, dass jede geschlossene 1-Form eine Stammfunktion besitzt, äquivalent dazu, dass die erste De-Rham-Kohomologie-Gruppe H¹_dR(M) trivial ist.

Für M = ℝ und eine beliebige 1-Form A = f dx gilt aus Dimensionsgründen stets dA = 0. Daher existiert eine Funktion F mit dF = f dx beziehungsweise F′ = f. Dies entspricht dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen.

Verallgemeinerungen

Die totale Ableitung lässt sich im Wesentlichen komponentenweise auf vektorwertige Funktionen übertragen. Für Abbildungen in eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erhält man als Verallgemeinerung Pushforwards, also die zugehörigen Abbildungen zwischen Tangentialräumen.

In der Funktionalanalysis wird der Begriff durch die Fréchet-Ableitung verallgemeinert, in der Variationsrechnung durch Variationsableitungen. Neben exakten Differentialen gibt es auch inexakte Differentiale.