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32 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - Telekolleg Mathematik
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 126 Zeilen
- [Musik] guten Tag liebe Zuschauer sie sehen wir haben heute noch einmal das
- strömungsmodell aus der letzten Sendung aufgebaut es führt uns heute zu einem der wichtigsten Sätze der Analysis nämlich dem Hauptsatz der Differential
- und Integralrechnung erinnern wir uns an die letzte Sendung dort hatten wir mit Hilfe dieses Messgerätes hier die strömungsstärke
- gemessen und daraus das Volumen eines Wasserbehälters zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt wir wollen heute einmal die
- Fragestellung umkehren und dazu gehen wir davon aus dass wir kein Messgerät hier besitzen bzw das ist defekt ist
- stattdessen können wir aber das Volumen in diesem Wasserbecken hier gut bestimmen
- und wir fragen jetzt einmal wie kann man mit Hilfe solcher volumenmessungen auf die strömungsstärke hier in diesem Leitungssystem schließen die umgekehrte
- Fragestellung fassen wir die Problemstellung noch einmal genauer es ging in der letzten Folge darum dass wir ausgingen von der
- strömungstärke und dann das Wasservolumen bestimmten das heißt wir gingen aus von einer Funktion kleinen FX und bestimmten groß
- F0 von X sie erinnern sich und die mathematische Operation die uns dazu geführt hat von diesem kleinen FX zu diesem groß F0 von X war wie Sie
- wissen das integrieren heute wie gesagt die umgekehrte Fragestellung wir gehen aus von einem
- gegebenen Wasservolumen und suchen die strömungsstärke das heißt wir gehen von diesem groß F0 von X aus
- und wollen dieses kleine FX wissen die strömungsstärke und wir fragen welche mathematische Operation führt uns hier zurück
- und darum geht es in dieser Sendung und bevor wir uns jetzt im einzelnen mit diesen Sachverhalten beschäftigen zunächst ein Versuch der uns in diese
- Problematik einführen wird bringen wir zunächst einmal den Versuch in die Ausgangssituation
- und wir nehmen an dass bei dem folgenden punktvorgang die strömungsstärke konstant sein und um sie zu bestimmen messen wir einmal zu zwei verschiedenen
- Zeitpunkten sagen wir nach 10 Sekunden und nach 30 Sekunden die hier in diesem Behälter eingeschlossene Wassermenge
- Achtung los wir lesen ab nach 10 Sekunden
- jetzt und haben 0,23 Liter und dann lesen wir wieder ab bei 30 Sekunden
- Achtung doch und wir haben
- 0,68 Liter und die beiden Volumina die wir jetzt gemessen hatten zu den Zeitpunkten 10 Sekunden und 30 Sekunden die tragen wir
- jetzt einmal in eine Tabelle ein also zum Zeitpunkt 10 Sekunden hatten wir die Wassermenge 0,23 Liter
- und zum Zeitpunkt 30 Sekunden betrug die Wassermenge 0,68 Liter um die strömungsstärke zu bestimmen
- bildet man die Differenz das heißt die zugeflossene Wassermenge in Delta x Sekunden bei uns in 20 Sekunden ist die Differenz der beiden Zahlen
- also 0,45 Liter so viel in 20 Sekunden dividiert man nun durch die Zeit Delta x das heißt durch 20 Sekunden so erhält
- man die strömungsstärke in Liter pro Sekunde also 0,45 durch 20 das ergibt
- 0,022 Liter pro Sekunde und wie solch eine Rechnung ganz allgemein aussieht das zeigt uns
- grafisch dargestellt der folgende kleine Trickfilm hier das Koordinatensystem und wir tragen wie schon bekannt auf der
- x-Achse die Zeit ab und auf der Y-Achse die strömungsstärke die strömungsstärke ist konstant aber unbekannt
- die Fläche unter dem Graphen gibt ein Maß für das Volumen des Wassers an halt dieses Volumen hier haben wir zum
- Zeitpunkt x0 gemessen jetzt weiter Stopp und die gesamte blaue Fläche stellt das Volumen zur Zeit x0 plus
- Delta x da die Differenz ist nun die Wassermenge die in der Zeit Delta x zugeflossen ist
- sie wird durch dieses Rechteck dargestellt weil dies ein Rechteck ist mit bekanntem Flächeninhalt kann man nun die Breite
- ausrechnen dazu muss man den Flächeninhalt durch die Länge Delta x dividieren und bekommt so die Breite des Rechtecks
- nämlich fx0 und das ist die gesuchte strömungsstärke was haben wir gemacht fassen wir zusammen
- wir bestimmten zum Zeitpunkt x0 das Volumen nämlich F0 von x0 und ebenso bestimmten wir das Volumen
- zum Zeitpunkt x0 plus Delta x danach bildeten wir die Differenz
- und dividierten schließlich durch Delta x unterhalten somit diesen Ausdruck und ihn wollen wir uns jetzt einmal genauer
- anschauen er kommt Ihnen sicher bekannt vor und zwar aus der Differentialrechnung
- im nächsten Beispiel wird das noch deutlicher zunächst wieder die Ausgangssituation
- und wir nehmen für den folgenden Versuch an dass die strömungsstärke nicht mehr konstant ist
- bis hierhin der Verlauf des Graphen könnte hier etwas so aussehen hier das Koordinatensystem die strömungsstärke nimmt zunächst zu
- dann wieder ab wir wollen wissen wie groß sie zu einem Zeitpunkt x0 ist und das herauszufinden verfahren wir wie im Fall konstanter
- strömungsstärke wir bestimmen zunächst das Volumen zu einem Zeitpunkt x0 und dann bestimmen wir es zu einem Zeitpunkt x0 plus Delta x
- die Volumen Differenz wird durch diese Fläche hier dargestellt und gesucht ist diese Seite der Fläche
- man kann jetzt nicht mehr einfach durch die Länge Delta x dividieren denn die Fläche ist ja kein Rechteck mehr um ein Rechteck zu erhalten müssten
- wir so tun als ob in der Zeit Delta x die strömungsstärke konstant wäre dann würde das Bild hier so aussehen
- wir machen allerdings einen deutlich erkennbaren Fehler wenn wir für die Volumenänderung die Rechteckfläche nehmen
- statt der tatsächlichen nämlich dieser krumlinie nicht begrenzten Fläche und zwar ist der Fehler dieses Stück hier
- aber man kann den Fehler immer kleiner machen wenn man nur Delta x hinreichend klein macht
- und bei hinreichend kleinem Delta x darf man dann die tatsächliche Fläche durch die rechtecksfläche ersetzen und aus dem Rechteck erhält man durch
- die Vision durch Delta x die andere Seite nämlich den Funktionswert
- von x0 das heißt die augenblickliche strömungsstärke zum Zeitpunkt x0
- das heißt wir können jetzt genauso rechnen wie in unserem Beispiel vorhin wir bilden diese Differenz hier und dividieren durch Delta x
- müssen allerdings jetzt noch ergänzen und zwar durch Delta x klein machen das heißt mathematisch exakt wir bilden den Grenzwert für Delta x gegen Null
- unterhalten schließlich den Funktionswert klein f an der Stelle x0
- schauen wir uns das hier unten einmal genau an wir haben hier den Limes für Delta x gegen 0 von einem Differenzenquotienten und zwar
- Differenzenquotienten gebildet mit unserer Funktion groß f und wenn wir den Limes von einem Differenzenquotienten bilden bekommen
- wir den Differentialquotienten oder einfache gesprochen die Ableitung das heißt wenn wir unsere Funktion groß F4 ableiten also Limes Delta x gegen
- Null bilden erhalten wir klein f an der Stelle x0 und kehren wir jetzt einmal zu der Ausgangsstellung unserer Sendung zurück
- ihr fragten nach der mathematischen Operation die uns von diesem groß F0 von X zu kleinen FX führt und wir haben eben erkannt
- wenn man die Funktion groß F ableitet also differenziert erhält man dieses klein f wir können das hier also jetzt ersetzen
- durch differenzieren und aus dieser Grafik erkennen Sie jetzt einen außerordentlich überraschenden und sehr wichtigen Zusammenhang
- das differenzieren ist die Umkehrung des integrierens oder anders ausgedrückt das Integrieren
- ist die Umkehrung des differenzierens und diese Sachverhalt bildet den wichtigen Kern des Hauptsatzes der Differential und Integralrechnung
- man muss natürlich einen so wichtigen Satz in der Mathematik beweisen und bevor wir uns überhaupt einmal an eine Beweis Idee heranwagen muss vorher noch
- genauer geklärt werden was dieser Sachverhalt eigentlich bedeutet dass differenzieren ist die Umkehrung des integrierens schauen wir uns das an der
- folgenden Grafik an nun gegeben ist eine randfunktion klein f dazu betrachtet man die Integralfunktion groß FA bezüglich einer festen unteren
- Grenze a der Funktionswert an einer beliebigen Stelle x
- wir schreiben dafür groß FA von x ist zahlenmäßig so groß wie die Fläche zwischen a und x unter dem Graphen der randfunktion klein f
- der Hauptsitz sagt nun groß FA ist eine differenzierbare Funktion
- und es gilt die Ableitung von Groß Fa ist klein f
- also groß FA Strich gleich klein s den genauen Wortlaut des Hauptsatzes sowie den Beweis finden Sie in Ihrem Begleitmaterial
- machen wir uns das Wesentliche des Hauptsatzes an bekannten Beispielen bewusst bei dem Messvorgang mit der
- Schraubenfeder war klein f die Kraft und groß F0 von X die Arbeit die aufgewendet werden musste um die Feder aus der Nulllage auf die Länge x zu
- denen die Kraft genügte dem Gesetz von X = x die Arbeit ergab sich zu groß F0 von X gleich einhalb x Quadrat
- differenziert man die Funktion groß F0 also einhalb x Quadrat nach bekannten Regeln so ergibt sich groß f0-
- gleich x gleich klein FX
- also die kraftfunktion klein f oder dieses Beispiel es sollte der Flächeninhalt unterhalb
- des gekrümmten Teils der Eisenbahnlinie bestimmt werden die Eisenbahnlinie verlief wie eine Parabel die Funktionsgleichung der randfunktion
- lautete klein FX = x Quadrat dies hier war die Fläche unter diesem Graphen von 0 bis X
- der Flächeninhalt betrug groß F0 von X gleich ein Drittel x hoch 3 dies ist die Integralfunktion
- differenziert man nun die Integralfunktion also bildet man groß f0-
- so ergibt sich nach den bekannten Regeln ein Drittel mal 3x² das ergibt x Quadrat
- ist also gleich klein FX also die ursprüngliche randfunktion groß F abgeleitet ergibt klein f
- der Hauptsatz ist eine fundamentale mathematische Aussage denn er stellt eine Beziehung hier zwischen den zwei großen Gebieten der Analysis der
- Differentialrechnung und der Integralrechnung und seine überragende Bedeutung liegt jetzt nicht nur im inner mathematischen Bereich vielmehr lassen
- sich mit Hilfe des Hauptsatzes auch einfache Regeln für das Integrieren komplizierter Funktionen erstellen er liefert also wenn man eine
- anwendungsorientierte Mathematik betreibt praktische Rechnung Regeln und darauf soll es uns in den folgenden Beispielen ankommen
- sie erinnern sich wir hatten mehrere Problemstellungen die auf die Bestimmung der Integralfunktion führten bei vorgegebener randfunktion da waren
- zunächst einmal die Konstanten oder stückweise linearen Funktionen dort war das Aufstellen der Integralfunktion überhaupt kein Problem denn die
- Flächenstücke waren ja einfach zu berechnen viel schwieriger war das Aufstellen der Integralfunktion schon bei der
- Normalparabel denn dort war ja die randfunktion krumlinisch wir mussten dort Unterteilung vornehmen dann mit Ober- und untersummen rechnen
- dann verfeinern die grenzwertbildung vornehmen bis wir schließlich die Integralfunktion herausgefunden hatten das war ein großer Rechenaufwand
- ähnlich groß wäre der Rechenaufwand wenn wir bei folgender randfunktion die Integralfunktion bestimmen wollten zum Beispiel bei kleinen FX gleich x
- hoch 4 wir suchen zu dieser randfunktion die Integralfunktion groß F0 von x
- um sie zu bestimmen müssten wir jetzt intervallunterteilung vornehmen dann Rechtecke bilden dann summieren und schließlich
- verfeinern das heißt Grenzwert bilden also einen ziemlich großen Rechenaufwand betreiben wenn es nicht den Hauptsatz gäbe
- der Hauptsatz sagt die Ableitung von Groß f ist klein f
- das heißt für unser Beispiel groß f' gleich x hoch 4
- wir suchen also eine Funktion groß f von der wir wissen dass sie differenziert x hoch 4 ergibt
- es geht somit zunächst um einen differenzierungsprozess ihn soll und diese Maschine symbolisieren wenn wir nun zum Beispiel die Funktion y
- = 3x Quadrat durch die Maschine laufen lassen dann wird sie differenziert und es ergibt sich y Strich gleich 6x nun zu unserem Problem
- jetzt ist die Ableitung y-x^4 gegeben und die ursprüngliche Funktion gesucht wir müssen den Vorgang des
- differenzierens umkehren moment mal hier erhalten wir ja eine ganze Menge von Funktionen was ist hier
- los die differenzieren wir einmal zur Probe diese Funktionen zum Beispiel die hier ein Fünftel x^5 -4 sie wird gliedweise
- differenziert und man erhält als Ableitung x^4 oder bei dieser Funktion hier
- wird differenzieren x^4 oder wenn wir diese Funktion differenzieren erhalten wir auch x^4
- die Umkehrung des differenzierens ist also nicht eindeutig schauen wir uns das nochmals an
- alle diese Funktionen hier ergeben differenziert x^4 man nennt diese Funktionen Stammfunktionen von x^4 sie
- unterscheiden sich nur in dem Summanden hinter dem ein Fünftel x hoch 5 sie erkennen zu y Strich gleich x hoch 4 gibt es unendlich viele Stammfunktionen
- eine davon ist unsere gesuchte Integralfunktion groß f jetzt hat die gesuchte Integralfunktion groß F noch eine besondere Eigenschaft
- wenn nämlich x0 wird dann ist auch der Flächeninhalt 0 das heißt groß F an der Stelle 0 ist gleich
- null wir haben somit eine zusätzliche Bedingung für die Integralfunktion gefunden und wir wollen einmal schauen
- ob wir mit dieser zusätzlichen Bedingungen groß F an der Stelle 0 gleich 0 aus der Menge der Stammfunktionen die
- Integralfunktion herausfinden also diese Bedingung muss für die Integralfunktion gelten
- der Funktionswert an der Stelle 0 ist 0 untersuchen wir einmal diese Stammfunktion daraufhin wenn wir x gleich 01 setzen erhalten wir als
- Funktionswert 3 das ist also nicht die Integralfunktion ist das bei dieser Stammfunktion für x = 0 ist der Funktionswert
- -2 das ist auch nicht die Integralfunktion jetzt diese Stammfunktion für x = 0 ist hier der Funktionswert 0
- diese Stammfunktion erfüllt diese Bedingung es ist die gesuchte Integralfunktion denn alle anderen Stammfunktionen haben ja auch hier einen
- Summanden erfüllen also diese Bedingung nicht damit haben wir die Integralfunktion zu dieser Funktion kleinen F gefunden ein Fünftel x^5
- fassen wir hier einmal zusammen bei der Suche nach der Integralfunktion zu einer vorgegebenen Funktion kleinen F stellen sich einem zwei Aufgaben
- erstens Stammfunktionen zu gegebener Funktion klein f bestimmen zweitens
- Integralfunktion in der Menge der Stammfunktionen suchen zum ersten Punkt
- finden Sie im Begleitmaterial Übungsbeispiele mit verschiedenen Funktionen und der zweite Punkt hier wird uns dann in der nächsten Folge
- beschäftigen in leicht veränderter Form damit verabschieden wir uns von ihnen auf Wiedersehen
Zum Nachlesen
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IntegralrechnungDie Integralrechnung ist aus der Aufgabe entstanden, Flächeninhalte oder Volumina zu berechnen, die durch gekrümmte Linien bzw. Flächen begrenzt sind. Unter dem …
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