Cramersche Regel

Grundidee und Voraussetzung

Die Cramersche Regel, auch Determinantenmethode genannt, ist eine Formel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Sie ist besonders für die theoretische Betrachtung linearer Gleichungssysteme wichtig. Für ein Gleichungssystem mit gleich vielen Gleichungen wie Unbekannten gilt in Matrixschreibweise Ax = b. Dabei ist A die quadratische Koeffizientenmatrix, x der Lösungsvektor und b der Vektor der rechten Seiten.

Voraussetzung ist, dass A regulär, also invertierbar, ist. Das ist genau dann der Fall, wenn det(A) ≠ 0 gilt. Dann besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung. Für jede Komponente xᵢ gilt:

xᵢ = det(Aᵢ) / det(A).

Die Matrix Aᵢ entsteht, indem man in A die i-te Spalte durch den Vektor b ersetzt. Zur Berechnung jeder Unbekannten wird also die Determinante der entsprechenden ersetzten Matrix durch die Determinante der ursprünglichen Koeffizientenmatrix geteilt.

Begründung und Beweisidee

Die Regel beruht auf zwei Eigenschaften der Determinante: Sie ist multilinear in den Spalten und Zeilen, also linear in jeder einzelnen Spalte beziehungsweise Zeile. Außerdem ist sie alternierend: Wenn zwei Spalten oder zwei Zeilen gleich sind, verschwindet die Determinante.

Der Vektor b ist wegen Ax = b eine Linearkombination der Spalten von A, wobei die Koeffizienten die Werte xᵢ sind. Ersetzt man die i-te Spalte von A durch b und entwickelt die Determinante mithilfe der beiden Eigenschaften, bleiben nur die Beiträge erhalten, bei denen die ursprüngliche i-te Spalte verwendet wird. Daher gilt det(Aᵢ) = xᵢ · det(A), woraus die Cramersche Regel folgt.

Ein formaler Beweis verwendet eine Matrix Xᵢ, die aus der Einheitsmatrix entsteht, indem man ihre i-te Spalte durch den Lösungsvektor x ersetzt. Dann gilt A Xᵢ = Aᵢ und det(Xᵢ) = xᵢ. Mit der Produktregel für Determinanten erhält man det(A) · det(Xᵢ) = det(Aᵢ), also det(A) · xᵢ = det(Aᵢ). Weil det(A) nach Voraussetzung nicht null ist, darf durch det(A) geteilt werden.

Typische Berechnungen

Für das lineare Gleichungssystem

x₁ + 2x₂ = 3, 4x₁ + 5x₂ = 6

ist det(A) = −3. Ersetzt man für x₁ die erste Spalte durch die rechte Seite, erhält man det(A₁) = 3 und damit x₁ = 3/(−3) = −1. Für x₂ ergibt sich durch Ersetzen der zweiten Spalte det(A₂) = −6 und damit x₂ = (−6)/(−3) = 2.

Ein Beispiel dritter Ordnung lautet:

82x₁ + 45x₂ + 9x₃ = 1, 27x₁ + 16x₂ + 3x₃ = 1, 9x₁ + 5x₂ + x₃ = 0.

Hier ist det(A) = 1. Die ersetzten Determinanten liefern det(A₁) = 1, det(A₂) = 1 und det(A₃) = −14. Somit lautet die Lösung x₁ = 1, x₂ = 1 und x₃ = −14.

Rechenaufwand und Verallgemeinerung

Für ein Gleichungssystem mit n Unbekannten müssen mit der Cramerschen Regel n + 1 Determinanten berechnet werden: die Determinante von A und jeweils eine Determinante für jede Unbekannte. Selbst mit effizienten Verfahren zur Determinantenberechnung ist der Rechenaufwand wesentlich höher als beispielsweise beim gaußschen Eliminationsverfahren. Deshalb wird die Regel für konkrete numerische Berechnungen meist nicht bevorzugt.

Eine allgemeinere Aussage lautet: Ist x = (x₁, x₂, …, xₙ) eine Lösung von Ax = b, dann gilt für jedes i

det(A) · xᵢ = det(Aᵢ).

Dabei wird keine eindeutige Lösbarkeit und keine Division vorausgesetzt. Die Aussage gilt daher für alle Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring. Diese verallgemeinerte Aussage wird nicht mehr Cramersche Regel genannt.

Weitere Folgerungen und historische Einordnung

Die Cramersche Regel liefert eine Formel für die Inverse einer Matrix. Die einzelnen Spalten von A⁻¹ sind die Lösungen der Gleichungssysteme Ax = eⱼ, wobei eⱼ der j-te Einheitsvektor ist. Mit der Adjunkten adj(A) beziehungsweise der Kofaktormatrix cof(A) = adj(A)ᵀ gilt:

A⁻¹ = (1/det(A)) · adj(A) = (1/det(A)) · cof(A)ᵀ.

Für ein homogenes lineares Gleichungssystem mit det(A) ≠ 0 ist die triviale Lösung x₁ = x₂ = ⋯ = xₙ = 0 die einzige Lösung. Denn bei b = 0 enthalten die Matrizen Aᵢ eine Nullspalte, sodass det(Aᵢ) = 0 und damit alle xᵢ gleich null sind. Folglich ist auch der Kern eines Systems Ax = b mit det(A) ≠ 0 der Nullvektor, und das System ist eindeutig lösbar.

Gabriel Cramer veröffentlichte die Regel 1750. Gottfried Wilhelm Leibniz hatte sie bereits 1678 in einem Manuskript notiert, das erst später entdeckt wurde. Étienne Bézout zeigte 1764, dass der Nenner null wird, wenn ein Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. Einen Beweis veröffentlichte Augustin Louis Cauchy 1815; dabei führte er auch die heute verwendete Notation ein.