Komplexwertige Funktion – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Eine komplexwertige Funktion ist eine Funktion, deren Funktionswerte komplexe Zahlen sind. Sie hat die Form f: D -> C, wobei C die Menge der komplexen Zahlen ist. Für die Definitionsmenge D gibt es keine besonderen Anforderungen; sie kann also zum Beispiel aus reellen Zahlen, komplexen Zahlen oder anderen Objekten bestehen.

Der verwandte Begriff komplexe Funktion wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Manchmal meint er dasselbe wie komplexwertige Funktion. Manchmal bezeichnet er nur komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen, also Funktionen f: D -> C mit D Teilmenge von C.

Wichtige Spezialfälle

Je nach Definitionsmenge wird genauer unterschieden:

Eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen hat D Teilmenge von R.
Eine komplexwertige Funktion mehrerer reeller Variablen hat D Teilmenge von R^n mit n > 1.
Eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen hat D Teilmenge von C.
Eine komplexwertige Funktion mehrerer komplexer Variablen hat D Teilmenge von C^n mit n > 1.

Ist D Teilmenge eines komplexen Vektorraums, dann nennt man eine Funktion f: D -> C auch ein komplexwertiges Funktional. Ein Funktional ist also hier eine komplexwertige Funktion, deren Eingaben aus einem Vektorraum stammen.

Typische Beispiele

Ein Beispiel für eine komplexwertige Funktion einer reellen Variablen ist f: R -> C mit f(x) = exp(i x) = cos(x) + i sin(x). Diese Gleichung ist die Eulersche Formel.

Für z = x + i y ist die Exponentialfunktion exp(z) = exp(x + i y) = exp(x)(cos(y) + i sin(y)) eine komplexwertige Funktion einer komplexen Variablen.

Die Funktion f: R^2 -> C mit f(x_1, x_2) = x_1 + i x_2 ist eine komplexwertige Funktion von zwei reellen Variablen. Außerdem kann jede reellwertige Funktion auch als komplexwertige Funktion aufgefasst werden, weil die reellen Zahlen in die komplexen Zahlen eingebettet sind.

Algebraische Struktur

Die Menge aller komplexwertigen Funktionen über einer gegebenen Menge D bildet einen komplexen Vektorraum. Sie wird mit F(D, C), Abb(D, C) oder C^D bezeichnet. Ein Vektorraum bedeutet hier: Funktionen können addiert und mit komplexen Zahlen multipliziert werden.

Für zwei komplexwertige Funktionen f und g ist die Summe punktweise definiert durch (f + g)(x) = f(x) + g(x) für alle x aus D. Für eine komplexe Zahl c aus C ist die Skalarmultiplikation definiert durch (c · f)(x) = c · f(x) für alle x aus D.

Mit Addition und punktweiser Multiplikation (f · g)(x) = f(x) · g(x) bilden die komplexwertigen Funktionen über D einen kommutativen Ring. Mit Addition, Skalarmultiplikation und punktweiser Multiplikation bilden sie eine komplexe Algebra.

Beschränktheit und Konvergenz

Eine komplexwertige Funktion f: D -> C heißt beschränkt, wenn es eine Schranke M gibt, sodass |f(x)| <= M für alle x aus D gilt. Die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen B(D, C) bildet mit der Supremumsnorm ||f||∞ := sup{x in D} |f(x)| einen normierten Raum. Weil die komplexen Zahlen vollständig sind, ist dieser Raum sogar ein Banachraum, also ein vollständiger normierter Raum.

Eine Folge komplexwertiger Funktionen (f_1, f_2, ...) heißt gleichmäßig beschränkt, wenn jedes Folgenglied beschränkt ist und die Folge (||f_1||∞, ||f_2||∞, ...) beschränkt ist. Sie heißt punktweise beschränkt, wenn für jedes x aus D die Zahlenfolge (f_1(x), f_2(x), ...) beschränkt ist. Gleichmäßige Beschränktheit führt immer zu punktweiser Beschränktheit, aber nicht umgekehrt.

Eine Folge komplexwertiger Funktionen heißt gleichmäßig konvergent gegen f: D -> C, wenn lim_{n -> ∞} ||f_n - f||∞ = 0 gilt. Sie heißt punktweise konvergent gegen f, wenn für alle x aus D gilt: lim{n -> ∞}(f_n(x) - f(x)) = 0. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz, aber die Umkehrung gilt nicht allgemein.

Weitere analytische Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit oder Integrierbarkeit setzen voraus, dass die Definitionsmenge D eine passende Struktur besitzt, zum Beispiel eine topologische, metrische oder maßtheoretische Struktur.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der komplexwertigen Funktionen sind komplex-vektorwertige Funktionen. Sie bilden nicht nur nach C ab, sondern in C^n. Noch allgemeiner sind vektorwertige Funktionen, deren Bildraum ein beliebiger Vektorraum ist.