Einschnürungssatz

Grundidee und Bedeutung

Der Einschnürungssatz, auch Einschließungssatz oder Sandwichsatz genannt, ist ein Satz der Analysis über Grenzwerte von Folgen und Funktionen. Er besagt: Liegt eine Folge zwischen zwei Folgen, die gegen denselben Grenzwert streben, so konvergiert auch die eingeschlossene Folge gegen diesen Grenzwert. Entsprechend gilt für Funktionen: Wird eine Funktion durch zwei andere Funktionen eingeschlossen, die gegen denselben Grenzwert streben, so besitzt auch die eingeschlossene Funktion diesen Grenzwert.

Der Satz dient vor allem dazu, Grenzwerte zu bestimmen, wenn eine direkte Berechnung schwierig ist. Man sucht dazu eine obere und eine untere Schranke mit bekanntem oder leicht bestimmbaren Grenzwert.

Einschließungsregel für Folgen

Seien xₙ und yₙ zwei reelle Folgen, die gegen denselben Grenzwert a streben. Gibt es eine weitere Folge wₙ mit xₙ ≤ wₙ ≤ yₙ für fast alle n, dann konvergiert wₙ ebenfalls gegen a.

Entscheidend ist, dass beide Schranken denselben Grenzwert haben. Die Folge wₙ muss nicht selbst direkt berechnet werden; es reicht, sie dauerhaft zwischen den Schranken einzuordnen.

Beispiele für Folgen

Für wₙ = 1/(n+3) gilt 0 ≤ wₙ ≤ 1/n. Die untere Schranke xₙ = 0 und die obere Schranke yₙ = 1/n konvergieren beide gegen 0. Daher gilt nach der Einschließungsregel auch limₙ→∞ 1/(n+3) = 0.

Ein weiteres Beispiel ist wₙ = (1 − 1/n²)ⁿ. Mit der Bernoullischen Ungleichung erhält man die untere Abschätzung (1 − 1/n²)ⁿ ≥ 1 − n/n² = 1 − 1/n.

Außerdem gilt (1 − 1/n²)ⁿ ≤ 1, weil jeder Faktor 1 − 1/n² kleiner als 1 und damit auch seine n-te Potenz kleiner als 1 ist. Somit liegt wₙ zwischen xₙ = 1 − 1/n und yₙ = 1. Beide Schranken konvergieren gegen 1; folglich konvergiert auch wₙ gegen 1.

Einschnürungssatz für Funktionen

Sei I ein Intervall, das die Zahl a enthält. Die Funktionen f, g und h seien auf I ohne den Punkt a definiert. Gilt für jedes x ≠ a aus I die Ungleichung g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) und gilt außerdem limₓ→ₐ g(x) = limₓ→ₐ h(x) = L, dann folgt limₓ→ₐ f(x) = L.

Der Punkt a muss nicht im Inneren von I liegen. Ist a ein Randpunkt von I, handelt es sich bei den Grenzwerten um links- beziehungsweise rechtsseitige Grenzwerte. Der Satz gilt ebenso für unendliche Intervalle, beispielsweise für I = [0, ∞) beim Grenzübergang x → ∞.

Typische Anwendungen

Für die Funktion x² sin(1/x) bei x → 0 ist eine direkte Substitution nicht möglich, weil die Funktion bei x = 0 nicht definiert ist. Auch die Regel von de L’Hospital ist hier nicht anwendbar, da sin(1/x) in der Nähe von 0 oszilliert und dort keinen Grenzwert besitzt. Aus −1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 folgt nach Multiplikation mit x² > 0: −x² ≤ x² sin(1/x) ≤ x². Da beide Schranken für x → 0 gegen 0 konvergieren, gilt limₓ→₀ x² sin(1/x) = 0.

Ein wichtiges Beispiel ist der Grenzwert limₓ→₀ sin(x)/x. Wegen der Geradheit der Funktion genügt es, x von rechts gegen 0 streben zu lassen. Aus elementargeometrischen Überlegungen am Einheitskreis folgt für 0 < x < π/2: cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1. Die Schranken cos(x) und 1 konvergieren beide gegen 1. Daher gilt limₓ→₀ sin(x)/x = 1. Dieser Grenzwert ist unter anderem bei der Bestimmung der Ableitung der Sinusfunktion hilfreich. Die geometrische Herleitung besitzt jedoch nicht die mathematische Strenge der modernen Analysis; ein rein analytischer Beweis ist mithilfe von Potenzreihen möglich.

Beweis und Verallgemeinerung

Für Folgen sei ε > 0. Weil xₙ und yₙ gegen a konvergieren, gibt es N₁, N₂ ∈ ℕ, sodass für n ≥ N₁ beziehungsweise n ≥ N₂ gilt: a − ε < xₙ < a + ε und a − ε < yₙ < a + ε. Zusätzlich gilt ab einem Index n₀ die Einschließung xₙ ≤ wₙ ≤ yₙ. Für n ≥ N := max{N₁, N₂, n₀} folgt daraus a − ε < wₙ < a + ε. Genau dies bedeutet, dass wₙ gegen a konvergiert.

Der Beweis für Funktionen verläuft analog. Zu ε > 0 gibt es δ₁, δ₂ > 0, sodass g(x) und h(x) für 0 < |x − a| < δ₁ beziehungsweise 0 < |x − a| < δ₂ zwischen L − ε und L + ε liegen. Mit δ := min{δ₁, δ₂} folgt aus g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) die Ungleichung L − ε < f(x) < L + ε. Also konvergiert f(x) gegen L.

Eine maßtheoretische Verallgemeinerung ist der Satz von Pratt. Durch die Einschnürung mittels lokal nach Maß konvergenten Funktionenfolgen kann auf die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung und Integration sowie auf die Integrierbarkeit der Grenzfunktion geschlossen werden.