Archimedischer Algorithmus

Was ist der Archimedische Algorithmus?

Der Archimedische Algorithmus ist ein Verfahren des griechischen Mathematikers Archimedes von Syrakus (ca. 287–212 v. Chr.), das er um 240 v. Chr. fand, um die Kreiszahl π beliebig genau anzunähern. π ist definiert als das Verhältnis von Kreisumfang U zu Durchmesser d, also π = U/d. Archimedes betrachtete regelmäßige Polygone (vielecke mit gleichen Seiten und Winkeln), die einem Einheitskreis mit Umfang 2π ein- und umgeschrieben sind. Die Umfänge der einbeschriebenen Polygone (innerhalb des Kreises) liegen unter dem Kreisumfang, die der umbeschriebenen (außerhalb) darüber – beide konvergieren gegen 2π, je mehr Ecken das Polygon hat. Die Grundidee mit ein- und umbeschriebenen Polygonen gab es schon um 430 v. Chr. bei Antiphon von Rhamnus und Bryson von Herakleia; der entscheidende neue Schritt von Archimedes war jedoch die fortlaufende Verdopplung der Eckenzahl des Polygons.

Archimedes' Ergebnis

Archimedes formulierte sein Ergebnis in der Abhandlung „Die Kreismessung“ so: „Der Umfang eines jeden Kreises ist dreimal so groß als der Durchmesser und noch um etwas größer, nämlich um weniger als ein Siebentel, aber um mehr als zehn Einundsiebenzigstel des Durchmessers.“ Als Formel: 3 10/71 ≈ 3,14084507 < π < 3 1/7 ≈ 3,142857143. Er schloss π also zwischen zwei Brüche ein, die den Kreisumfang von unten und oben eingrenzen.

Die Rekursionsformel

Ausgangspunkt ist die Seite sₙ des regelmäßigen n-Ecks, das dem Einheitskreis (Radius 1) einbeschrieben ist, und die Seite Sₙ des zugehörigen umbeschriebenen n-Ecks. Beim Übergang von n auf 2n wird die Eckenzahl verdoppelt. Aus ähnlichen Dreiecken folgt nach dem Strahlensatz: Sₙ = sₙ/y, wobei y der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Mitte der Seite ist. Mit dem Satz des Pythagoras an rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich y = √(1 − (sₙ/2)²) sowie s₂n² = (sₙ/2)² + (1 − y)². Daraus folgt mit der zweiten binomischen Formel die Rekursionsformel: s₂n = √(2 − √(4 − sₙ²)). Die nicht-rekursive Formel für das umbeschriebene Polygon lautet: Sₙ = sₙ/√(1 − (sₙ/2)²).

Startwert und Näherung für π

Als Startwert dient das regelmäßige Sechseck mit s₆ = 1 (Radius r = 1). Nach dem 96. Rekursionsschritt (also beim 96-Eck) gilt: s₉₆ ≈ 0,0654382 und S₉₆ ≈ 0,0654732. Der Näherungswert für den Kreisumfang 2π ergibt sich, indem man diese Werte jeweils mit der Eckenzahl 96 multipliziert. Die einbeschriebene Näherung n·sₙ ist stets kleiner als 2π, die umbeschriebene n·Sₙ größer, sodass π von unten und von oben eingegrenzt wird.

Beispiel: Folgerwerte der ersten Schritte

Die Folgeglieder zeigen, wie beide Umfänge gegen 2π ≈ 6,283185307 konvergieren (Werte für n·sₙ unten / n·Sₙ oben): n = 6: 6,92820323 (n·Sₙ liegt über 2π, 2π − n·Sₙ = −0,645017923); n = 12: 6,211657082 / 6,430780618; n = 24: 6,265257227 / 6,319319884; n = 48: 6,278700406 / 6,292172430; n = 96: 6,282063902 / 6,285429199; n = 192: 6,282904945 / 6,283746100; n = 384: 6,283115216 / 6,283325494; n = 768: 6,283167784 / 6,283220353; n = 1536: 6,283180926 / 6,283194069; n = 3072: 6,283184212 / 6,283187498; n = 6144: 6,283185033 / 6,283185855; n = 12288: 6,283185237 / 6,283185443; n = 24576: 6,283185291 / 6,283185342. Der Fehler (2π minus Näherung) wird bei jeder Verdopplung der Eckenzahl etwa viermal so klein – die Annäherung erfolgt also sehr schnell.