Hisab al-dschabr wa-l-muqabala

Werk und Bedeutung

Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala („Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“), auch Ḥisāb al-ǧabr wa-ʾl-muqābala genannt, ist ein Mathematikbuch von Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi, das ungefähr um 825 entstand. Von der lateinischen Übersetzung des Titels, Ludus algebrae almucgrabalaeque, leitet sich das Wort „Algebra“ ab.

Das Buch gilt als wichtiger Grundtext der klassischen Algebra, also der Wissenschaft vom Lösen von Gleichungen. Es machte Algebra über Jahrhunderte vor allem zu einer praktischen Wissenschaft und nicht zu einer Wissenschaft mit axiomatischer, also aus festgelegten Grundannahmen aufgebauter, Fundierung. Es wurde bei Persern und Arabern sowie später im mittelalterlichen Europa zum Standardwerk für lineare und quadratische Gleichungen.

Das Werk entstand im Umfeld des Hauses der Weisheit in Bagdad. Es verbindet mathematisches Wissen der alten Griechen mit indischer Mathematik, besonders mit Aryabhata und Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta. Al-Chwarizmi stützte sich hauptsächlich auf Brahmagupta und kannte wahrscheinlich auch griechische Arbeiten. Das Buch hatte größeren Einfluss als das Werk des Diophant, obwohl es weniger Inhalte bietet und als Wortalgebra ohne Formeln arbeitet.

Zweck und Aufbau

Nach al-Chwarizmi behandelt das Buch nützliche Arithmetik für Vererbungen, Teilungsprobleme, Rechtsstreitigkeiten, Handel, Landvermessung, das Graben von Kanälen und geometrische Berechnungen.

Es besitzt zwei Hauptteile, zwischen denen vier Aufgabenkapitel stehen. Nach den Seitenzahlen von Rosens Übersetzung entfallen etwa 2 % auf das Vorwort, 17 % auf die systematische Behandlung von Gleichungen, 3 % auf Beispiele zu quadratischen Gleichungen, 16 % auf verschiedene Probleme, 2 % auf Handelsaufgaben, 9 % auf Vermessung und 51 % auf Erbteilungsaufgaben nach islamischem Erbrecht. Dieser umfangreichste Teil war für Europa relativ uninteressant und wurde meist nicht übersetzt.

Gleichungen durch Ergänzen und Ausgleichen

Al-Chwarizmi erklärt Äquivalenzumformungen an Beispielen; Zeichen für Variablen oder Koeffizienten verwendet er nicht. Er unterscheidet zwei Verfahren:

• al-ǧabr bedeutet „Vervollständigen“, „Wiederherstellen“ oder „Ganzmachen“. Es dient dazu, negative Ausdrücke zu beseitigen.
• al-muqabala bedeutet „Ausgleich“. Dabei werden Ausdrücke derselben Potenz der Unbekannten auf jeder Gleichungsseite zusammengefasst.

Alle quadratischen Gleichungen führt das Buch auf sechs Standardtypen zurück. Dabei sind a, b und c nicht-negative Koeffizienten, und es werden nur positive Lösungen betrachtet:

• ax² = bx
• ax² = c
• bx = c
• ax² + bx = c
• ax² + c = bx
• ax² = bx + c

Die drei letzten Typen sind die „echten“ quadratischen Gleichungen; sie werden geometrisch gelöst. Zu jedem Gleichungstyp enthält das Buch ein Beispiel. Weitere Aufgaben betreffen insbesondere Handelsgeschäfte in Form von Dreisatz-Aufgaben und praktische Vermessungen.

Erhaltung und spätere Entwicklung

Das Werk ist in einer arabischen Abschrift und in mehreren lateinischen Übersetzungen erhalten. Seine sechs Gleichungstypen blieben jahrhundertelang ein Kernstück der Algebra. Erst Michael Stifel ließ 1544 negative Koeffizienten zu; dadurch konnte die Zahl der Gleichungstypen verringert werden. Etwa ab der Mitte des 16. Jahrhunderts konnten in Europa auch kubische Gleichungen gelöst werden; genannt werden Gerolamo Cardanos Ars magna sive de regulis algebraicis, Nicolo Tartaglia und Scipione del Ferro.

Genannte Übersetzungen

Zu den genannten Ausgaben gehören Frederic Rosens Algebra of Mohammed ben Musa (London 1831, arabischer Text und englische Übersetzung), Robert of Chester's Latin translation of the Algebra of al-Khowarizmi, herausgegeben von Louis Charles Karpinski (New York/London 1915), sowie Al-Khwārizmī: The Beginnings of Algebra, herausgegeben, übersetzt und kommentiert von Roshdi Rashed (London 2009).