Mathematik im Alten Ägypten

Kern und Entwicklung

Mathematik im Alten Ägypten bezeichnet die Geschichte und Anwendung täglicher Berechnungsformeln. Sie entstand nicht erst spät, sondern entwickelte sich etwa um 3000 v. Chr. fast gleichzeitig mit den ältesten Schriften in Mesopotamien und Vorderasien. Mit der Hieroglyphenschrift entstanden auch Zahlzeichen, weil Verwaltung und Wirtschaft im entstehenden Zentralstaat Vorgänge schriftlich festhalten mussten.

Bereits im ausgehenden 4. Jahrtausend v. Chr. besaßen die Ägypter mathematische Kenntnisse und Methoden für praktische Anforderungen: Sie mussten Mengen, Verhältnisse und räumliche Beziehungen erfassen. Nach der Reichseinigung bildeten sich bis etwa zur 3. Dynastie die wichtigsten Rechenverfahren heraus; später wurden sie vor allem verfeinert.

Der Pyramidenbau ab etwa 2650 v. Chr. zeigt, dass weitreichende mathematische Kenntnisse vorhanden waren. Ohne genaue Berechnungen wären die Pyramiden nicht möglich gewesen. Bekannt waren Addition, Subtraktion, Stammbrüche, das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen sowie Verfahren für Multiplikation und Division. Aus dem Alten Reich sind aber nur wenige konkrete Berechnungen erhalten. Ein Beispiel ist eine Grabinschrift im Grab des Metjen in Saqqara aus der Übergangszeit von der dritten zur vierten Dynastie, in der die Fläche eines Rechtecks berechnet wird. Deutlich mehr mathematische Nachweise gibt es erst ab der zweiten Hälfte des Mittleren Reiches durch Papyri.

Quellen des Wissens

Das heutige Wissen über die altägyptische Mathematik stammt vor allem aus mathematischen Papyri. Diese Texte waren meist Übungs- oder Lehrbücher. Sie enthielten mathematische Grundregeln und praktische Aufgaben für Schüler, besonders für Schreibschüler, die später Verwaltungs- und Arbeitsaufgaben lösen sollten.

Zu den ältesten und bekanntesten Quellen aus dem Mittleren Reich und der Zweiten Zwischenzeit gehören die Reisner-Papyri um 1970 v. Chr., die Holztäfelchen aus Achmim um 1950 v. Chr., Papyrus Moskau 4676 um 1850 v. Chr., Papyrus Berlin 6619 um 1800 v. Chr., die mathematischen Papyri aus Lahun um 1700 v. Chr., die Mathematische Lederrolle um 1650 v. Chr. und der Papyrus Rhind, der um 1550 v. Chr. angefertigt wurde und eine Abschrift aus der 12. Dynastie ist.

Aus dem Neuen Reich und späterer Zeit sind unter anderem Papyrus Anastasi I aus der Ramessidenzeit, Ostrakon Senmut 153, Ostrakon Turin 57170 und Ostraka aus Deir el-Medina erhalten. Letztere enthalten verschiedene Volumenberechnungen für das Ausheben von Gräbern.

Zahlen und Brüche

Die Ägypter verwendeten ein Dezimalsystem, also ein Zahlensystem zur Basis 10. Anders als die Babylonier, die mit dem Sexagesimalsystem zur Basis 60 rechneten, schrieben die Ägypter ihre Zahlen additiv: Die Zahlzeichen wurden nebeneinandergesetzt und zusammengerechnet. Es gab kein Positionssystem, bei dem der Wert eines Zeichens von seiner Stelle abhängt.

Für die Zahl 1 wurde ein senkrechter Strich verwendet; bis 9 wurde dieser Strich entsprechend oft wiederholt. Beim Zehnfachen nahm man jeweils das nächsthöhere Zeichen und nutzte wieder dasselbe Prinzip. Für den praktischen Gebrauch reichten sieben verschiedene Hieroglyphenzeichen. Ein Symbol für die Null gab es ebenfalls, aber im Hieroglyphensystem wurde keine Stellennull verwendet. Das Zeichen diente dazu, Ergebnisse wie eine Kontenbilanz oder einen Bezugspunkt beim Bau anzugeben.

Für Brüche nutzten die Ägypter eine besondere Schreibweise, die auf Stammbrüchen beruhte. Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler 1, zum Beispiel 1/5. Der Bruch 4/15 wurde etwa als 1/5 + 1/15 dargestellt. Die Bildung ägyptischer Brüche folgte drei Grundregeln: Man fand zuerst den größten Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist, bildete dann die Differenz beider Brüche und wiederholte diese Schritte, bis der Rest selbst ein Stammbruch war.

Stammbrüche wurden mit der Hieroglyphe r dargestellt, die über die entsprechende Zahl gesetzt wurde. Für häufig gebrauchte Brüche wie 2/3 und 3/4 gab es besondere Zeichen. Diese Bruchdarstellung erlaubte viele Teilungen und damit auch die Darstellung kleiner Maßeinheiten und Winkelunterschiede.

Rechnen mit Verdoppeln

Die ägyptischen Verfahren für Multiplikation und Division wirken aus heutiger Sicht ungewohnt, waren aber systematisch. Bei der Multiplikation nutzten die Ägypter aus, dass jeder Multiplikator als Summe von Zweierpotenzen dargestellt werden kann. Zweierpotenzen sind Zahlen wie 1, 2, 4, 8, die durch wiederholtes Verdoppeln entstehen.

Beim Beispiel 13 · 12 = 156 wurde unter den Multiplikator zuerst 1 geschrieben und daneben der Multiplikand 12. Dann wurden beide Zahlen jeweils verdoppelt: 1 und 12, 2 und 24, 4 und 48, 8 und 96. Da 13 als 8 + 4 + 1 geschrieben werden kann, wurden die zugehörigen rechten Werte 96, 48 und 12 addiert. So ergab sich 12 + 48 + 96 = 156.

Die Division funktionierte ähnlich als umgekehrte Multiplikation. Bei 143 : 11 = 13 fragten die Ägypter sinngemäß: Mit welchen Verdopplungen von 11 erhält man 143? Man schrieb 1 neben 11 und verdoppelte: 2 neben 22, 4 neben 44, 8 neben 88. Da 11 + 44 + 88 = 143 ist, addierte man die linken Werte 1 + 4 + 8 und erhielt 13.

Algebra und Verteilungen

Neben einfachen arithmetischen Aufgaben gab es in den Quellen viele Aufgaben zum Verteilen von Waren, Lebensmitteln, Bier, Futter und ähnlichen Dingen an Menschen oder Tiere. Solche Verteilungsaufgaben gehörten zu den häufigsten Themen, weil sie direkt mit Verwaltung und Alltag verbunden waren.

Ein Beispiel ist Aufgabe 5 des Papyrus Rhind. Dort geht es um die Frage, wie 8 Brote auf 10 Personen verteilt werden. Solche Aufgaben zeigen, dass die altägyptische Mathematik stark praktisch ausgerichtet war und auf Situationen zielte, die Schreibschüler später im Arbeitsleben bewältigen mussten.

Geometrie und Wirkung

Die Geometrie spielte in Ägypten eine besonders große Rolle. Ein wichtiger Grund war die jährliche Nilschwemme: Durch den abgelagerten Schlamm wurden Feldgrenzen verwischt, sodass die Felder nach dem Ablaufen der Flut neu eingeteilt werden mussten. Um Streit über Bodenbesitz und Nutzung zu vermeiden, entwickelten die Ägypter planimetrische Berechnungen. Planimetrie bedeutet Flächenberechnung, etwa von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen.

Die ägyptische Geometrie war stark praktisch. Es ging nicht um abstrakte Figuren oder mathematische Beweise, sondern um Rechenvorschriften, also „Rechenrezepte“, die brauchbare Näherungswerte lieferten. Die Entwicklung war eng verbunden mit Feldeinteilung und Vermessung, Architektur, Bauwesen und der Berechnung von Rauminhalten.

Beim Bau von Grabpyramiden entwickelten die Ägypter Verfahren zur Berechnung der Grundfläche, des Mantels und des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfs. Für dessen Volumen wird die Formel V = (a² + ab + b²)(h/3) angegeben. Bei Pyramiden gibt es außerdem Spekulationen über die Rolle von Pi bei der Cheopspyramide, den goldenen Schnitt oder die Verwendung pythagoreischer Tripel. Der Näherungswert (16/9)² für die Kreiszahl π wurde bei der Berechnung der Kreisfläche verwendet, etwa im Papyrus Rhind. Im älteren Moskauer Papyrus gibt es in Problem 10 ebenfalls eine Stelle, in der dieser Wert bei einer gekrümmten Oberfläche vorkommt; die Interpretation ist jedoch unsicher.

Die ägyptische Mathematik beeinflusste die Herausbildung mathematischer Wissenschaft in der griechischen Welt. Griechische Historiker rühmten sie und betrachteten sie als Quelle eigener Kenntnisse. Herodot berichtete im 5. Jahrhundert v. Chr., die Griechen hätten die Geometrie von den Ägyptern und die Arithmetik von den Babyloniern gelernt. Auch Platon sprach im 4. Jahrhundert v. Chr. nach einem monatelangen Aufenthalt in Heliopolis mit Hochachtung von den mathematischen Kenntnissen Ägyptens.