Babylonische Mathematik – einfach erklärt

Überblick und Quellen

Babylonische Mathematik bezeichnet die mathematischen Kenntnisse und Rechenverfahren der verschiedenen Bewohner Mesopotamiens, des heutigen Irak. Sie begann vermutlich bei den frühen Sumerern um 4000 v. Chr. und entwickelte sich bis zur persischen Eroberung Babylons 539 v. Chr. weiter. Das heutige Wissen stützt sich auf etwa 400 seit etwa 1850 ausgegrabene Tontafeln. Die Texte wurden in Keilschrift in weichen Ton geritzt und danach gebrannt oder getrocknet.

Die meisten mathematischen Tafeln stammen aus der Zeit von 1800 bis 1600 v. Chr. Sie behandeln unter anderem Brüche, Algebra sowie quadratische und kubische Gleichungen. Sie zeigen außerdem, dass Flächen und Volumina berechnet wurden und dass der Satz des Pythagoras praktisch angewendet werden konnte. Die Tafel Plimpton 322 enthält pythagoreische Tripel. YBC 7289 enthält eine Näherung für √2 mit etwa sechs Dezimalstellen: 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,41421296… .

Zahlen und Rechnen im Sechzigersystem

Die Babylonier rechneten im Sexagesimalsystem, also mit der Grundzahl 60. Reste davon finden sich heute noch bei Winkeln und Zeiten: 1° = 60′, 1′ = 60″. Die Zahl 60 hat viele Teiler, nämlich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30. Daher lassen sich mehr Brüche als im Dezimalsystem endlich darstellen; besonders Divisionen werden dadurch erleichtert. Dem steht gegenüber, dass ein Einmaleins mit 1800 Faktorenpaaren umfangreicher ist als eines mit 50 Faktorenpaaren.

Es wurde ein Stellenwertprinzip verwendet: Stand dasselbe Zeichen links neben einem anderen Zeichen, hatte es den 60-fachen Wert. Zugleich war der Stellenwert nicht unmittelbar ablesbar; ein Zeichen „1“ konnte beispielsweise 1/60, 60 oder 3600 bedeuten. Der richtige Wert ergab sich aus dem Zusammenhang. Eine Ziffer für die Null gab es nicht, weil sie nicht als Zahl, sondern als Nichtvorhandensein einer Zahl galt; dies wurde durch ein Leerzeichen dargestellt. Die ältesten Keilschriften der Sumerer und Akkader verwendeten andere Zahldarstellungen.

Für π wurde oft die Näherung 3 benutzt; auf einer Tafel steht auch der bessere Wert 3 + 1/8. Die bekannten pythagoreischen Tripel waren nicht zufällig gesammelt: Plimpton 322 enthält zum Beispiel 4961² + 6480² = 8161². Die Anordnung der Werte, bei der der Sekans des Innenwinkels im Intervall [30°,45°] monoton fällt, deutet auf einen Winkelbegriff hin.

Frühe und ältere babylonische Mathematik

Die ältesten schriftlich überlieferten mathematischen Zeugnisse stammen von den Sumerern. Für die Zeit von 3000 bis 2300 v. Chr. sind ein leistungsfähiges Maßsystem sowie seit 2600 v. Chr. Multiplikationstabellen, geometrische und arithmetische Aufgaben nachgewiesen.

Aus der älteren babylonischen Zeit von 2000 bis 1600 v. Chr. stammen die meisten erhaltenen mathematischen Tafeln. Manche enthalten Listen und Tabellen, andere Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen. Tabellen waren ein zentrales Hilfsmittel. Zwei 1854 in Senkerah am Euphrat gefundene, auf 2000 v. Chr. datierte Tafeln führen alle Quadratzahlen von 1 bis 59 und Kubikzahlen von 1 bis 32 auf.

Produkte konnten mithilfe von Viertelquadrattabellen bestimmt werden. Verwendet wurden die Formeln ab = ((a+b)² − (a−b)²)/4 und ab = ((a+b)² − a² − b²)/2. Für 3 · 6 berechnet man etwa 3 + 6 = 9 und 6 − 3 = 3. Aus der Tabelle für f(x) = x²/4 ergeben sich 20,25 und 2,25; ihre Differenz ist 18. Divisionen wurden als Multiplikation mit einem Reziprokwert ausgeführt: a/b = a · 1/b. Dazu gab es umfangreiche Reziproktabellen. Für Zahlen wie 7, 11 und 13 sind Reziprokwerte im Sexagesimalsystem nicht endlich. Daher nutzte man Näherungen, etwa 1/13 = 7/91 = 7 · 1/91 ≈ 7 · 1/90 = 7 × 40/3600.

Gleichungen, Wurzeln und Geometrie

Quadratische Gleichungen wurden für positive Größen gelöst, denn negative Zahlen standen nicht zur Verfügung. Die Gleichung x² + bx = c mit positivem, nicht unbedingt ganzzahligem b und c wurde als x = √((b/2)² + c) − b/2 gelöst. Die eindeutig positive Wurzel wurde einer Quadrattabelle entnommen.

Auch für Gleichungen der Form ax³ + bx² = c gab es ein Verfahren. Nach Multiplikation mit a² und Division durch b³ erhält man (ax/b)³ + (ax/b)² = ca²/b³. Mit der Substitution y = ax/b wird daraus y³ + y² = ca²/b³. Tabellen mit Werten n³ + n² ermöglichten, einen passenden Wert für y zu finden. Im Beispiel 3x³ + 4x² = 475 ergibt sich y³ + y² = 475 · 9/64 ≈ 67; die Tabelle liefert 3x/4 = 3,75 und damit x = 5,0. Es gibt jedoch keinen Hinweis auf Kenntnis einer allgemeinen kubischen Gleichung. Die Rechnungen wurden ohne algebraische Notation ausgeführt. Nach der Methode von Heron konnten Quadratwurzeln, wie YBC 7289 zeigt, sehr genau berechnet werden.

Für die Geometrie waren allgemeine Regeln zur Flächen- und Volumenberechnung bekannt. Für einen Kreis mit Durchmesser d galt U = 3 · d. Die Fläche wurde mit A = U · U / 12 bestimmt; beide Regeln beruhen auf der Näherung π = 3. Der Satz des Pythagoras wurde verwendet, aber nicht bewiesen. Tabellen enthielten Tripel wie (3, 4, 5).

Chaldäische Astronomie und Perioden

Die chaldäische Periode entspricht dem Neubabylonischen Reich von 626 bis 539 v. Chr. Babylon war dessen Hauptstadt und ein Zentrum der Wissenschaft, doch die Quellenlage ist für diese Zeit ungünstiger. Seit der Wiederentdeckung der babylonischen Kultur ist erkennbar, dass griechische Astronomen, besonders Hipparchos von Nicäa, Informationen aus chaldäischen Quellen besaßen. Franz Xaver Kugler wies darauf hin, dass Mondphasen in babylonischen Ephemeridentabellen vorkommen. Eine Sammlung heißt heute „System B“ und wird manchmal Kiddinu zugeschrieben.

Wahrscheinlich führten die Chaldäer über Jahrhunderte routinemäßige Beobachtungslisten, unter anderem zu Finsternissen. Erhaltene Tafeln sind auf 652 v. Chr. bis 130 n. Chr. datiert; die Aufzeichnungen reichten vermutlich bis zu Nabonassar zurück. Bei Ptolemäus beginnt die Aufzeichnung am 26. Februar 747 v. Chr. Exzerpte aus den Rohdaten enthielten etwa alle Finsternisse eines Saroszyklus und erlaubten so das Erkennen periodischer Wiederholungen.

Im System B wurden unter anderem folgende Beziehungen verwendet: 223 synodische Monate = 239 anomalistische Monate = 242 drakonitische Monate; diese Periode heißt Saroszyklus und dient zur Vorhersage von Finsternissen. Außerdem galten 251 synodische Monate = 269 anomalistische Monate sowie 5458 synodische Monate = 5923 drakonitische Monate. Ein synodischer Monat wurde mit 29;31:50:08:20 Tagen angegeben, also 29,53059413… Tage = 29 Tage 12 Stunden 44 min 3⅓ s. Perioden wurden in synodischen Monaten ausgedrückt, wahrscheinlich wegen eines lunisolaren Kalenders. Auch für andere Planeten waren Umlaufwerte bekannt. Wann und auf welchen Wegen dieses Wissen den Griechen zugänglich wurde, bleibt unklar.