Inverses Element

Grundidee und Definition

Ein inverses Element gehört zu einer algebraischen Struktur, also zu einer Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung \circ. Gibt es in dieser Struktur ein neutrales Element e, dann bedeutet „invers“: Ein Element wird mit einem passenden anderen Element so verknüpft, dass e entsteht. Das neutrale Element ist das Element, das bei der Verknüpfung nichts verändert, zum Beispiel 0 bei der Addition oder 1 bei der Multiplikation.

Seien a,b \in A. Wenn keine Kommutativität vorausgesetzt wird, muss man zwischen links und rechts unterscheiden. Gilt nur a \circ b=e, dann heißt a rechtsinvertierbar mit dem rechtsinversen Element b. Gleichzeitig heißt b linksinvertierbar mit dem linksinversen Element a. Gibt es zu a ein Element b mit a \circ b=b \circ a=e, dann heißt a beidseitig invertierbar oder kurz invertierbar, und b heißt inverses Element von a.

Bei additiver Schreibweise wird das inverse Element häufig als (-a) geschrieben. Bei multiplikativer Schreibweise wird es häufig als a^{-1} geschrieben.

Wichtige Eigenschaften

Die wichtigsten allgemeinen Regeln gelten, wenn die Verknüpfung assoziativ ist. Dann liegt ein Monoid vor: eine Menge mit assoziativer Verknüpfung und neutralem Element.

Ist ein Element a sowohl links- als auch rechtsinvertierbar, dann stimmen alle links- und rechtsinversen Elemente von a überein. Daher ist a beidseitig invertierbar, und das inverse Element ist eindeutig bestimmt.

Das Inverse des Inversen ist wieder das ursprüngliche Element: \left(a^{-1}\right)^{-1}=a. Die Operation ^{-1} ist damit eine Involution auf der Menge der beidseitig invertierbaren Elemente, also eine Anwendung, die bei zweimaliger Ausführung wieder zum Ausgangselement führt.

Für Produkte gilt: Ist a \circ b rechtsinvertierbar, dann ist auch a rechtsinvertierbar. Ist a \circ b linksinvertierbar, dann ist auch b linksinvertierbar. Sind a und b beidseitig invertierbar, dann ist auch a \circ b invertierbar, und es gilt (a\circ b)^{-1}=b^{-1}\circ a^{-1}. Die Reihenfolge kehrt sich also um. Diese Regel wird manchmal Socke-Schuh-Regel oder Hemd-Jacken-Regel genannt.

Die beidseitig invertierbaren Elemente eines Monoids bilden eine Gruppe. Diese Gruppe heißt Einheitengruppe. Ein Monoid-Homomorphismus f\colon A\to B bildet Inverse auf Inverse ab: Ist a invertierbar, dann ist auch f(a) invertierbar, und es gilt f(a^{-1})=f(a)^{-1}. Wenn das Assoziativgesetz in einer algebraischen Struktur mit neutralem Element nicht allgemein gilt, kann ein Element mehrere Linksinverse und mehrere Rechtsinverse haben.

Additive und multiplikative Inverse

Bei der Addition ist das neutrale Element 0. Das additiv Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die zu a addiert 0 ergibt. Man nennt es auch das Entgegengesetzte oder die Gegenzahl -a. Zum Beispiel ist -7 das Entgegengesetzte von 7, denn 7+(-7)=(-7)+7=0. Umgekehrt ist das Entgegengesetzte von -7 wieder 7, also -(-7)=7. Allgemein erhält man das Entgegengesetzte durch Multiplikation mit -1: -a=-1\cdot a.

Das Entgegengesetzte einer Zahl ist nicht immer negativ. Für negative Zahlen a gilt -a>0, das Entgegengesetzte ist also positiv. Das Entgegengesetzte einer positiven Zahl ist dagegen negativ.

Additiv inverse Elemente existieren regelmäßig in additiv geschriebenen abelschen Gruppen (G,+). Wichtige Beispiele sind die ganzen Zahlen, rationalen Zahlen, reellen Zahlen, komplexen Zahlen, p-adischen Zahlen und hyperreellen Zahlen. In manchen Zahlenmengen kann man zwar addieren, aber es gibt nicht zu jedem Element ein additiv inverses Element innerhalb derselben Menge. Beispiele sind natürliche Zahlen, Kardinalzahlen und Ordinalzahlen. Die ganzen Zahlen kann man aus den natürlichen Zahlen konstruieren, indem man formal die Negativen und gegebenenfalls 0 hinzunimmt. Die natürlichen Zahlen sind aber nicht abgeschlossen unter der Entgegensetzung oder Subtraktion, weil das Entgegengesetzte einer natürlichen Zahl außer bei 0 nicht wieder natürlich ist.

Bei der Multiplikation ist das neutrale Element 1. Das multiplikativ Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt; es ist der Kehrwert von a. Zum Beispiel ist der Kehrwert von 7 die rationale Zahl 1/7. In den ganzen Zahlen hat 7 jedoch kein multiplikativ Inverses. In einem Ring R heißen die Elemente mit multiplikativem Inversen Einheiten des Rings. In Restklassenringen kann man ein multiplikatives Inverses, falls es existiert, mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus berechnen.

Umkehrfunktionen als inverse Elemente

Auch Funktionen können inverse Elemente haben. Man betrachtet die Menge A^A aller Funktionen f\colon A\to A. Die Verknüpfung ist hier die Komposition, also die Hintereinanderausführung von Funktionen: g\circ f\colon A\to A, a\mapsto (g\circ f)(a):=g(f(a)). Diese Komposition ist assoziativ. Das neutrale Element ist die identische Abbildung \operatorname{id}_A\colon A\to A, a\mapsto a.

Ist eine Funktion f\colon A\to A bijektiv, also eindeutig umkehrbar, dann ist die Umkehrfunktion f^{-1}\colon A\to A das inverse Element von f in A^A. Allgemeiner gilt für bijektive Funktionen f\colon A\to B: Es gibt eine Umkehrfunktion f^{-1}\colon B\to A mit f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A und f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B.

Bei Funktionen über einem Körper wie den reellen Zahlen darf man die Umkehrfunktion f^{-1} nicht mit dem Kehrwert 1/f verwechseln. Die Umkehrfunktion ist nur definiert, wenn f bijektiv ist. Der Kehrwert ist nur definiert, wenn f keine Nullstellen hat. Selbst wenn f eine Teilmenge von \mathbb{R}\setminus{0} bijektiv auf sich abbildet, stimmen Umkehrfunktion und Kehrwert im Allgemeinen nicht überein. Beispiel: f\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+, x\mapsto x^2 hat die Umkehrfunktion f^{-1}\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+, x\mapsto \sqrt{x}. Der Kehrwert ist dagegen (1/f)(x)=1/f(x)=1/x^2. Diese beiden Funktionen sind nicht gleich.

Selbstinverse Elemente

In einem Monoid (M,) mit neutralem Element e\in M heißt ein Element a\in M selbstinvers, wenn aa=e gilt, also a^{-1}=a. Das Element ist dann sein eigenes inverses Element.

Das neutrale Element ist in jedem Monoid selbstinvers, denn e*e=e. In einer Verknüpfungstafel erkennt man selbstinverse Elemente daran, dass auf der Diagonalen das neutrale Element steht.

Ein Monoid, in dem jedes Element selbstinvers ist, ist immer eine kommutative Gruppe. Es ist eine Gruppe, weil jedes Element ein inverses Element besitzt, nämlich sich selbst. Außerdem folgt aus der Selbstinversheit von ab und aus dem Assoziativgesetz, dass ba=a*b gelten muss. Damit ist die Verknüpfung kommutativ.

Verallgemeinerungen ohne neutrales Element

Inverse Elemente können auch ohne ein neutrales Element definiert werden, etwa in einem Magma oder in einer Halbgruppe. Ein Magma ist eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung; eine Halbgruppe ist zusätzlich assoziativ.

In einem Magma (M,) heißt a schwach invertierbar, wenn es ein eindeutiges Element a^{-1}\in M gibt, sodass für alle b\in M gilt: a^{-1}(ab)=b=(ba)*a^{-1}. Dann heißt a^{-1} das schwache Inverse von a. Ein Magma, in dem alle Elemente schwach invertierbar sind, hat die Inverseneigenschaft und heißt Quasigruppe mit Inverseneigenschaft. Dabei wirken a und a^{-1} zusammen wie ein neutrales Element auf jedes b, ohne dass ein eigenes neutrales Element vorhanden sein muss. In einer Halbgruppe mit dieser Inverseneigenschaft entsteht wegen der Assoziativität jedoch ein eindeutiges neutrales Element e:=(a^{-1}*a), sodass die Struktur bereits eine Gruppe ist. In Gruppen stimmen diese Definitionen mit der üblichen Definition inverser Elemente überein.

Eine andere Verallgemeinerung ist das überkreuzt Inverse. In einem Magma (M,) heißt a überkreuzt invertierbar, wenn es ein Element a^{-1}\in M gibt, sodass für alle b\in M gilt: a^{-1}(ba)=b=(ab)*a^{-1}. Ein Magma, in dem alle Elemente ein überkreuzt Inverses haben, hat die Überkreuzt-Inverseneigenschaft und heißt CIP-Magma. In einem CIP-Magma ist das überkreuzt Inverse eindeutig bestimmt, und ein CIP-Magma ist immer eine Quasigruppe. Eine abelsche Gruppe hat diese Eigenschaft; eine nicht-kommutative Gruppe hat sie nicht unbedingt.

In einer inversen Halbgruppe (A,) wird ein relatives Inverses y zu x durch die Bedingungen xyx=x und yx*y=y definiert. Diese Definition ist noch schwächer als die Definition in einer Quasigruppe mit Inverseneigenschaft.