Geschichte der Mathematik

Überblick und frühe Hochkulturen

Die Geschichte der Mathematik reicht bis zu den Anfängen des Zählens in der Jungsteinzeit zurück. Erste Hinweise auf Zählverfahren sind etwa 50.000 Jahre alt; ein 12.000 Jahre alter Knochenfund zeigt Kerbreihen von 28 bis 30 Kerben, die zur Dauer von Mondmonaten passen. Mathematik entstand zunächst vor allem aus praktischen Bedürfnissen: Zählen, Messen, Bauen, Verteilen, Rechnen mit Waren, Kalendern und später Geld.

Im Alten Ägypten zeigen der Pyramidenbau vor über 4500 Jahren und erhaltene Quellen wie der Papyrus Rhind, der Papyrus Moskau und die „Lederrolle“ weitreichende Kenntnisse. Die Ägypter nutzten Mathematik meist für Lohnberechnung, Getreidemengen, Flächen und Baufragen. Sie kannten die vier Grundrechenarten. Multiplikation wurde auf fortgesetztes Verdoppeln zurückgeführt, Division auf wiederholtes Halbieren. Brüche stellten sie als Summen von Stammbrüchen und dem Bruch 2/3 dar. In der Geometrie kannten sie Flächen von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen, die Näherung (16/9)^2 für π und das Volumen eines quadratischen Pyramidenstumpfs. Belege für mathematische Beweise fehlen.

Die Babylonier in Mesopotamien hinterließen etwa 400 Tontafeln. Sie verwendeten ein Sexagesimal-Stellenwertsystem, also ein Stellenwertsystem zur Basis 60, allerdings nicht völlig eindeutig. Ihre Tafeln enthalten Multiplikationstabellen, Kehrwerte, Quadrate, Kuben, lineare Gleichungssysteme und Zinseszinsrechnungen. Sie hatten ein Verfahren zur Division über Kehrwerte, nutzten lineare Interpolation und kannten einen Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln. Die Tafel YBC 7289 enthält eine sexagesimale Näherung für √2: 1 + 24/60 + 51/3600 + 10/216000 ≈ 1,414213. Die Babylonier kannten den Satz des Pythagoras und verwendeten für π die Näherungen 3 oder 3 + 1/8. Eine strenge Beweisführung strebten sie offenbar nicht an.

Griechische, chinesische, indische und islamische Mathematik

In Griechenland wurde Mathematik erstmals im Rahmen der Philosophie als beweisende Wissenschaft betrieben. Die griechische Antike wird in die ionische Periode (600 bis 400 v. Chr.), die athenische Periode (400 bis 300 v. Chr.), die alexandrinische Periode (300 bis 200 v. Chr.) und die Spätzeit (200 v. Chr. bis 300 n. Chr.) eingeteilt. Eine aus der Antike stammende Überlieferung, nach der Mathematik als Wissenschaft mit Pythagoras beginnt, ist unter Wissenschaftshistorikern umstritten. Wichtig war das neue Ziel, Aussagen logisch zu beweisen. Aristoteles formulierte Grundlagen der Aussagenlogik. Eudoxos entwickelte die Exhaustionsmethode, eine frühe Form infinitesimalen Denkens. Archimedes erweiterte sie und berechnete damit unter anderem eine Näherung für π.

Euklid fasste in den Elementen große Teile der damaligen Geometrie und Zahlentheorie zusammen. Das Werk zeigt, wie aus wenigen Vorgaben mit strenger Beweisführung Ergebnisse hergeleitet werden können; darin wird unter anderem bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. In der Spätantike leisteten Pappos Beiträge zur Geometrie, Apollonios zu Kegelschnitten und Diophant zur Zahlentheorie und zu ganzzahligen Gleichungen, später diophantische Probleme genannt.

In China ist das Zhoubi suanjing das erste erhaltene Lehrbuch. Das Jiu Zhang Suanshu („Neun Kapitel über mathematische Kunst“) enthält 246 Aufgaben, unter anderem den Satz des Pythagoras ohne Beweis. Die Chinesen verwendeten ein dezimales Stellenwertsystem für die Stäbchenrechnung. Liu Hui bestimmte im 3. Jahrhundert Schranken für π, darunter 3,141024 und 3,142704, und später den Wert 3927/1250 = 3,1416. Zu Chongzhi berechnete um 480: 3,1415926 < π < 3,1415927; dieser Wert blieb 800 Jahre lang Weltrekord. Im 13. Jahrhundert erreichte die chinesische Mathematik mit Zhu Shijie und Gleichungen bis zum 14. Grad einen Höhepunkt.

In Indien sind Datierungen besonders schwierig. Die Inder entwickelten das dezimale Positionssystem zur Basis 10 mit Rechenregeln. Unsere Zahlzeichen leiten sich aus der indischen Devanagari ab. Die früheste Verwendung der Ziffer 0 wird auf etwa 400 n. Chr. datiert; Aryabhata um 500 und Bhaskara um 600 verwendeten sie bereits, Brahmagupta rechnete mit ihr als Zahl und kannte negative Zahlen.

In der Blütezeit des Islam wurde Bagdad ein Zentrum der Mathematik. Muslimische Mathematiker übernahmen die indische Positionsarithmetik und den Sinus, entwickelten Trigonometrie und Geometrie weiter und übersetzten griechische Werke. Ihre wichtigste Leistung war die Begründung der heutigen Algebra. Al-Chwarizmi schrieb um 820 De numero indorum über das indische Positionssystem und Al-dschabr wa'l muqabalah; aus diesen Traditionen stammen die Wörter „Algorithmus“ und „Algebra“. Über Spanien, Kreuzzüge und italienischen Seehandel gelangte dieses Wissen nach Europa.

Maya und mittelalterliches Europa

Die Mathematik der Maya ist vor allem aus dem Dresdner Kodex bekannt und war eng mit Astronomie und Kalenderrechnung verbunden. Ihre Zahlschrift beruhte auf der Basis 20, vermutlich weil mit Fingern und Zehen gezählt wurde. Sie kannten die Zahl 0, verwendeten aber keine Brüche. Zahlen wurden mit Punkten, Strichen und Kreisen dargestellt, die für 1, 5 und 0 standen. Ihre Mathematik war hochentwickelt und diente besonders der Kalenderberechnung; der Maya-Kalender war der genaueste seiner Zeit.

Im europäischen Mittelalter wurde antikes Wissen zunächst in Klöstern bewahrt. Klosterschulen, später Kathedralschulen, Schulen der Bettelorden und Universitäten wurden Träger von Bildung. Boëthius (ca. 480–524) prägte mit seiner Einführung in die Arithmetik den Unterricht bis zum Ende des Mittelalters. Unter Karl dem Großen wurde Alkuin von York 781 Leiter der Hofschule. Mathematik gehörte im Quadrivium zu den vier Fächern Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik. Gelehrt wurden Eigenschaften von Zahlen, Grundrechenarten, Fingerrechnen, später Abakusrechnen und seit dem 13. Jahrhundert schriftliches Rechnen mit arabischen Ziffern.

Eine wichtige Rolle spielte die Komputistik, also die Berechnung des Ostertermins. Karl der Große verfügte, dass sich in jedem Kloster ein Mönch damit befassen sollte. Grundlagen kamen von Dionysius Exiguus und Beda dem Ehrwürdigen; Reinher von Paderborn veröffentlichte 1171 eine verbesserte Methode.

Ab dem 12. Jahrhundert wurden Paris und Oxford wichtige Zentren. Robert Grosseteste und Roger Bacon betonten das Experiment als Maßstab für Wissenschaft. Bacon sah Mathematik als Schlüssel zur Wissenschaft und forderte eine Kalenderreform, die erst 1582 als Gregorianische Kalenderreform durchgeführt wurde. Nikolaus von Oresme beschrieb Geschwindigkeit gegen Zeit und untersuchte Bewegungsformen. Wilhelm von Ockham wurde durch Ockhams Rasiermesser bekannt: Eine Theorie soll möglichst wenige Annahmen und Begriffe enthalten.

Praktische Mathematik wurde durch Kathedralbau, Vermessung und Geldwirtschaft gefördert. Fibonacci verband in seinem Liber abbaci kaufmännisches Rechnen, griechisch-lateinische Tradition und arabisch vermittelte indische Methoden. Seit dem 14. Jahrhundert entstanden italienische Rechenbücher für Bank- und Kaufleute.

Frühe Neuzeit, Analysis und 18. Jahrhundert

In der frühen Neuzeit verbreiteten Buchdruck, Handel, Renaissancekunst, Kartographie, Navigation und Ingenieurwesen mathematische Methoden in Europa. Algebra, Algorithmus und arabische Ziffern gehen auf arabisch vermittelte Mathematik zurück. In Deutschland machte Adam Ries(e) das Rechnen in deutscher Sprache bekannt; indische Ziffern ersetzten zunehmend römische Zahlen. Michael Stifels Arithmetica integra erschien 1544 in Nürnberg und fasste bekannte Arithmetik und Algebra zusammen.

René Descartes entwickelte die analytische Geometrie: Geometrische Objekte konnten mit algebraischen Gleichungen beschrieben und algebraische Gleichungen geometrisch gedeutet werden, wenn man ein Koordinatensystem verwendet. Ein Briefwechsel von Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 über Glücksspielprobleme gilt als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Pascal trug auch zur Kombinatorik bei, etwa mit Binomialkoeffizienten und dem Pascalschen Dreieck, und baute eine frühe Rechenmaschine. François Viète verwendete systematisch Variablen in Gleichungen. Fermat formulierte den „großen Fermatschen Satz“: Die Gleichung x^n + y^n = z^n hat keine positiven ganzzahligen Lösungen, falls n ≥ 3. Ein Beweis gelang erst 1995 mit Methoden, die Fermat nicht kannte.

Ein zentrales Problem des 17. Jahrhunderts war die Bestimmung von Tangenten an Kurven und Flächen unter Kurven. Daraus entstanden Differentialrechnung und Integralrechnung. Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung, also Rechnen mit Änderungsraten und aufsummierten Größen. Die Ableitung beschreibt lokale Änderung, das Integral Flächen oder aufsummierte Größen; beide hängen durch den Fundamentalsatz der Analysis zusammen. Newton argumentierte mit Geschwindigkeiten, den Fluxionen. Leibniz prägte die Schreibweise d/dx und das Integralzeichen ∫. Zwischen beiden Seiten entstand ein langer Prioritätsstreit.

Im 18. Jahrhundert wurden Methoden der Analysis ausgebaut, oft noch mit geringeren Anforderungen an Strenge als später. Leonhard Euler prägte große Teile der modernen Symbolik und führte das Symbol i als Lösung der Gleichung x^2 = −1 ein. Er leistete Beiträge zur Analysis, Mechanik, Physik, Zahlentheorie und Topologie. Mit dem Königsberger Brückenproblem und dem Polyedersatz gab er frühe Impulse zur Topologie. Außerdem erkannte er einen Zusammenhang zwischen Zeta-Funktion und Primzahlen. Bernoulli, Lagrange, D’Alembert, Laplace, Bayes und andere entwickelten Variationsrechnung, Mechanik und Wahrscheinlichkeitstheorie weiter.

19. Jahrhundert

Im 19. Jahrhundert wurden mathematische Begriffe strenger begründet. Augustin-Louis Cauchy formulierte die ε-Definition des Grenzwerts und legte Grundlagen der Funktionentheorie. Analysis, Physik und Mechanik blieben eng verbunden, etwa in Joseph Fouriers Fourieranalyse. Wichtige Themen waren spezielle Funktionen, besonders elliptische Funktionen, algebraische Geometrie, Funktionentheorie und Himmelsmechanik.

Évariste Galois entwickelte mit gruppentheoretischen Methoden die Galoistheorie zur Untersuchung algebraischer Gleichungen. Damit wurde die allgemeine Nichtauflösbarkeit polynomialer Gleichungen vom Grad 5 und höher durch Radikale erklärt; Niels Henrik Abel zeigte dies unabhängig. Klassische antike Probleme wie Winkeldreiteilung, Würfelverdoppelung und Quadratur des Kreises wurden als unlösbar erkannt, die Quadratur des Kreises durch den Beweis der Transzendenz von π durch Ferdinand Lindemann.

Die Algebra wurde stark abstrahiert. Mathematiker erkannten, dass nicht nur Zahlen, sondern allgemein Objekte mit Verknüpfungen untersucht werden können. Daraus entstanden Begriffe wie Gruppen, Ringe, Ideale und Körper. Auch Vektoren, Quaternionen und Matrizen entwickelten sich zu wichtigen Strukturen. Sophus Lie untersuchte Symmetrien; seine Ideen wurden später für Analysis, Physik und moderne Quantenfeldtheorien wichtig.

Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann prägten Göttingen. Gauß legte mit den Disquisitiones Arithmeticae Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie und bewies den Fundamentalsatz der Algebra. Riemann entwickelte unter anderem die Riemannsche Geometrie und prägte die Funktionentheorie. Nichteuklidische Geometrien von Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski und János Bolyai zeigten, dass Euklids Axiomensystem nicht die einzige mögliche Geometrie beschreibt.

Georg Cantor begründete die Mengenlehre und zeigte, dass es mehr als eine Art von „Unendlichkeit“ geben kann. Gegen Ende des Jahrhunderts wurden die Ansprüche an Beweise und Axiomatisierung höher, etwa bei Dedekind für reelle Zahlen, Peano für natürliche Zahlen und Hilbert für Geometrie. Gottlob Frege entwickelte die Prädikatenlogik und leitete damit zugleich die Grundlagenkrise der Mathematik ein.

Moderne Mathematik

Das 20. Jahrhundert brachte eine stark beschleunigte und internationale Entwicklung der Mathematik. Die Zahl der Mathematiker und Anwender nahm stark zu, auch in Bezug auf Herkunftsländer und Frauen. Nach dem Zweiten Weltkrieg wurden besonders die USA und die Sowjetunion führend; später gewannen auch Japan und China an Bedeutung. Durch technische Fortschritte und Digitalisierung wurde Mathematik zu einer Schlüsseldisziplin.

David Hilbert stellte 1900 seine berühmten Hilbertschen Probleme vor, die viele Entwicklungen des Jahrhunderts beeinflussten. Zugleich verschärfte sich die Grundlagenkrise: Bertrand Russell entdeckte in Freges Arbeiten Widersprüche, die mit Paradoxien des Unendlichen zusammenhingen, die Russellsche Antinomie. Russell und Alfred North Whitehead versuchten mit den Principia Mathematica und der Typentheorie ein Fundament zu schaffen. Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel begründeten die Mengenlehre axiomatisch; die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre setzte sich wegen ihrer handlicheren Axiome durch.

Hilbert wollte mathematische Beweise vollständig formalisieren. Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz zeigte jedoch, dass es in jedem formalen System, das umfangreich genug für die Arithmetik der natürlichen Zahlen ist, Sätze gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Andere Richtungen wie Brouwers Intuitionismus wollten Mathematik konstruktiv aus endlichen Schritten aufbauen, mussten dafür aber auf wichtige Sätze verzichten.

Viele Gebiete wurden abstrakter und axiomatischer: Funktionalanalysis, Maßtheorie, Topologie, Wahrscheinlichkeitstheorie und algebraische Strukturen. Andrei Kolmogorow gab der Wahrscheinlichkeit eine axiomatische Grundlage und behandelte sie ähnlich wie Flächeninhalt mit Methoden der Maßtheorie. Statistik entwickelte breite Anwendungen in Versuchswesen, Medizin, Sozial- und Geisteswissenschaften, Marktforschung und Politik.

Der Zweite Weltkrieg förderte konkrete mathematische Probleme in Bereichen wie Atombombe, Radar und Codeentschlüsselung. Alan Turing entwickelte zuvor das abstrakte Konzept einer universalen Rechenmaschine; John von Neumann und Turing arbeiteten an Computerprojekten. Computer veränderten die Mathematik durch numerische Mathematik und experimentelle Mathematik.

In der zweiten Hälfte des Jahrhunderts prägten Nicolas Bourbaki die strukturelle Sicht auf Mathematik, Alexander Grothendieck die algebraische Geometrie, und Kategorientheorie bot eine Alternative zur Mengenlehre als Theorie grundlegender Strukturen. Viele alte Probleme wurden gelöst: das Vierfarbenproblem und die Kepler-Vermutung mit Computerhilfe, die Mordellvermutung durch Gerd Faltings, die Poincaré-Vermutung durch Grigori Perelman 2002 und Fermats Satz 1995 durch Andrew Wiles. Einige Fragen erwiesen sich als prinzipiell unentscheidbar, etwa die Kontinuumshypothese durch Paul Cohen; andere wie die Riemann-Hypothese blieben offen.