Äußeres Tensorprodukt

Grundidee und Definition

Das äußere Tensorprodukt ist ein spezielles Produkt für Tensoren zweiter Stufe im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍³. Es verknüpft zwei Dyaden, also Tensoren der Form a ⊗ b, indem es in beiden Faktoren Kreuzprodukte bildet:

(a ⊗ b) # (c ⊗ d) := (a × c) ⊗ (b × d).

Weil das Kreuzprodukt × auf dreidimensionale Räume beschränkt ist, gilt dies auch für das äußere Tensorprodukt #. Das Verfahren ist wichtig, weil sich damit Hauptinvarianten, Kofaktor und Adjunkte von Tensoren ausdrücken lassen. Außerdem vereinfacht es die Berechnung von Kreuzprodukten transformierter Vektoren, etwa bei Inhalten verformter Flächen.

Für Tensoren A = A^{ij} e_i ⊗ e_j und B = B^{kl} e_k ⊗ e_l lautet die Darstellung mit der Einsteinschen Summenkonvention:

(A^{ij} e_i ⊗ e_j) # (B^{kl} e_k ⊗ e_l) = A^{ij}B^{kl}(e_i × e_k) ⊗ (e_j × e_l).

Die Einsteinsche Summenkonvention bedeutet hier: Über Indizes, die in einem Produkt zweimal vorkommen, wird von 1 bis 3 summiert.

Darstellung ohne Dyaden

Ohne Bezug auf einzelne Dyaden kann das äußere Tensorprodukt mit Spur und Transposition angegeben werden:

A # B = [Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + [A · B + B · A − Sp(A) B − Sp(B) A]ᵀ.

Dabei ist 1 der Einheitstensor, Sp die Spur eines Tensors und ᵀ die Transposition. In Komponenten folgt diese Formel aus der Darstellung des Kreuzprodukts mit dem Permutationssymbol ε_{ijk}, nämlich e_p × e_q = ε_{pqr}e_r, sowie aus Beziehungen für Produkte von Permutationssymbolen und dem Kronecker-Delta δ_{ij}.

Die koordinatenfreie Formel ist besonders nützlich, weil sie das Ergebnis allein durch gewöhnliche Tensorprodukte, Spuren und Transpositionen beschreibt.

Rechenregeln und Symmetrien

Wichtige Sonderfälle sind:

• 1 # 1 = 2 1. • A # 1 = Sp(A) 1 − Aᵀ. • A # A = [Sp(A)² − Sp(A · A)] 1 + 2[A · A − Sp(A)A]ᵀ. • Für x ∈ ℝ gilt (xA) # B = A # (xB) = x A # B. • (A # B)ᵀ = (Aᵀ) # (Bᵀ).

Das äußere Tensorprodukt ist kommutativ, also A # B = B # A. Es ist außerdem distributiv über Addition und Subtraktion:

A # (B + C) = A # B + A # C, (A + B) # C = A # C + B # C.

Es ist jedoch nicht assoziativ. Im Allgemeinen gilt A # (B # C) ≠ (A # B) # C. Für B = C = 1 erhält man einerseits A # (1 # 1) = 2 Sp(A)1 − 2Aᵀ, andererseits (A # 1) # 1 = Sp(A)1 + A.

Als Funktion f(A,B) := A # B ist das äußere Tensorprodukt isotrop. Das heißt: Für jeden orthogonalen Tensor Q mit Qᵀ · Q = 1 und det(Q) = ±1 gilt f(Q · A · Qᵀ, Q · B · Qᵀ) = Q · f(A,B) · Qᵀ.

Kofaktor, Adjunkte und Invarianten

Das Frobenius-Skalarprodukt : eines äußeren Tensorprodukts mit einem dritten Tensor besitzt die zyklische Eigenschaft:

(A # B) : C = (B # C) : A = (C # A) : B.

Daraus ergeben sich Beziehungen zu den drei Hauptinvarianten I₁, I₂ und I₃ eines Tensors T:

(T # 1) : 1 = 2 I₁(T), (T # T) : 1 = (T # 1) : T = 2 I₂(T), (T # T) : T = 6 I₃(T).

Für einen invertierbaren Tensor ist der Kofaktor cof(T) = det(T) Tᵀ⁻¹. Mit dem Satz von Cayley-Hamilton lässt er sich schreiben als

cof(T) = Tᵀ · Tᵀ − Sp(T)Tᵀ + I₂(T)1.

Diese Identität gilt laut Artikel auch für nicht invertierbare Tensoren. Ferner folgt

T # T = 2 cof(T).

Die Adjunkte ist der transponierte Kofaktor: adj(T) = cof(T)ᵀ. Der Artikel gibt anschließend zusätzlich adj(T) = (T # T)ᵀ = (Tᵀ) # (Tᵀ) an; dies steht neben der zuvor angegebenen Beziehung T # T = 2 cof(T).

Transformationen und weitere Verknüpfungen

Ein zentrales Anwendungsresultat für das Kreuzprodukt ist:

(A · u) × (A · v) = (A # A) · (u × v) = cof(A) · (u × v).

Damit kann ein Tensor aus dem Kreuzprodukt zweier durch denselben Tensor transformierter Vektoren „ausgeklammert“ werden. Allgemeiner gilt:

(A # B) · (u × v) = (A · u) × (B · v) − (A · v) × (B · u).

Für das Tensorprodukt zweier äußerer Produkte gilt die Formel

(A # B) · (C # D) = (A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C).

Sie wird mithilfe der Lagrange-Identität für Kreuzprodukte hergeleitet:

(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c).

Das Skalarprodukt (A # B) : C lässt sich außerdem als Summe von sechs Spatprodukten der Spaltenvektoren von A, B und C ausschreiben. Ein Spatprodukt hat die Form (a × b) · c und beschreibt das orientierte Volumen, das von drei Vektoren aufgespannt wird.