Dyadisches Produkt

Grundidee und Definition

Das dyadische Produkt ist ein spezielles Produkt zweier Vektoren. Sein Ergebnis ist eine Matrix beziehungsweise ein Tensor zweiter Stufe mit Rang eins. Für reelle Vektoren x ∈ ℝᵐ und y ∈ ℝⁿ ist es definiert als

x ⊗ y ∈ ℝᵐˣⁿ.

Jeder Eintrag cᵢⱼ der Ergebnismatrix entsteht durch die Multiplikation eines Elements aus x mit einem Element aus y:

cᵢⱼ = xᵢ · yⱼ.

Man kann x als einspaltige Matrix und y als einzeilige Matrix auffassen. Dann gilt

x ⊗ y = x · yᵀ = (x₁, …, xₘ)ᵀ · (y₁, …, yₙ).

Die Ergebnismatrix lautet daher

(x ⊗ y)ᵢⱼ = xᵢyⱼ.

Das dyadische Produkt ist somit ein Spezialfall des Matrizenprodukts und zugleich des Kronecker-Produkts einer einspaltigen mit einer einzeiligen Matrix. Die Bezeichnung „äußeres Produkt“ wird manchmal verwendet, ist aber nicht eindeutig, weil sie auch für das Kreuzprodukt und das Dachprodukt gebraucht wird.

Beispiel und grundlegende Eigenschaften

Für x = (1, 3, 2) ∈ ℝ³ und y = (2, 1, 0, 3) ∈ ℝ⁴ ergibt sich

x ⊗ y = [[2, 1, 0, 3], [6, 3, 0, 9], [4, 2, 0, 6]] ∈ ℝ³ˣ⁴.

Jede Spalte dieser Matrix ist ein Vielfaches von x, und jede Zeile ist ein Vielfaches von yᵀ. Als Sonderfälle gelten für passende Größen:

0ₘₙ = 0ₘ ⊗ 0ₙ und 1ₘₙ = 1ₘ ⊗ 1ₙ.

Das Produkt ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Für die Transponierte gilt jedoch

(x ⊗ y)ᵀ = y ⊗ x.

Sind die Dimensionen so gewählt, dass beide Produkte vergleichbar sind, gilt x ⊗ y = y ⊗ x genau dann, wenn die Ergebnismatrix symmetrisch ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn einer der beiden Vektoren ein reelles Vielfaches des anderen ist, also x = λy oder y = λx für ein λ ∈ ℝ. Für einen Nullvektor gilt insbesondere

x ⊗ 0ₙ = 0ₙ ⊗ x = 0ₙₙ.

Das dyadische Produkt ist distributiv bezüglich der Vektoraddition:

x ⊗ (y + z) = x ⊗ y + x ⊗ z,

(x + y) ⊗ z = x ⊗ z + y ⊗ z.

Außerdem ist es mit der Skalarmultiplikation verträglich:

λ(x ⊗ y) = (λx) ⊗ y = x ⊗ (λy).

Für das Skalarprodukt gelten unter passenden Dimensionen

(x ⊗ y) · z = x ⊗ (y · z) = (y · z)x

und

z · (x ⊗ y) = (z · x) ⊗ y = (z · x)y.

Für Vektoren y, z ∈ ℝ³ gilt entsprechend die Verträglichkeit mit dem Kreuzprodukt:

(x ⊗ y) × z = x ⊗ (y × z)

sowie

z × (x ⊗ y) = (z × x) ⊗ y.

Rang und Normen

Sind x ∈ ℝᵐ und y ∈ ℝⁿ beide keine Nullvektoren, dann hat ihr dyadisches Produkt Rang eins:

rang(x ⊗ y) = 1.

Umgekehrt lässt sich jede Rang-Eins-Matrix als dyadisches Produkt zweier Vektoren darstellen. Die Spektralnorm und die Frobeniusnorm des Produkts stimmen überein und ergeben

‖x ⊗ y‖₂ = ‖x ⊗ y‖F = ‖x‖₂ · ‖y‖₂.

Dabei bezeichnet ‖x‖₂ die euklidische Norm von x. Neben der Nullmatrix sind Rang-Eins-Matrizen die einzigen Matrizen, bei denen Spektralnorm und Frobeniusnorm übereinstimmen.

Beziehungen zu Skalar- und Tensorprodukt

Beim Skalarprodukt wird die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation umgekehrt: Das Produkt aus einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor liefert für x, y ∈ ℝⁿ die reelle Zahl

⟨x, y⟩ = xᵀ · y.

Das Standardskalarprodukt ist gleich der Spur des dyadischen Produkts, also der Summe seiner Diagonalelemente:

Spur(x ⊗ y) = ⟨x, y⟩.

Die Matrix x ⊗ y ist genau dann nilpotent vom Grad 2, wenn x und y orthogonal sind:

(x ⊗ y)² = 0 ⇔ ⟨x, y⟩ = 0.

Aus der Assoziativität der Matrizenmultiplikation folgen außerdem

xᵀ · (y ⊗ z) = ⟨x, y⟩ zᵀ

und

(x ⊗ y) · z = x ⟨y, z⟩.

Der von dyadischen Produkten x ⊗ y mit x ∈ ℝᵐ und y ∈ ℝⁿ aufgespannte Raum ist der Tensorproduktraum

ℝᵐ ⊗ ℝⁿ = span{x ⊗ y | x ∈ ℝᵐ, y ∈ ℝⁿ}.

Er ist isomorph zum Raum aller Matrizen ℝᵐˣⁿ. Jede Matrix A ∈ ℝᵐˣⁿ kann deshalb als Summe dyadischer Produkte geschrieben werden:

A = ∑ᵢ₌₁ʳ xᵢ ⊗ yᵢ,

wobei r = rang(A) gilt. Wählt man eine Rangschranke r′ < r, erhält man eine Niedrigrang-Approximation. Das kann numerische Berechnungen mit sehr großen Matrizen beschleunigen.

Anwendungen

In Anwendungen wird ein dyadisches Produkt häufig zunächst nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern erst bei der Multiplikation mit weiteren Termen ausgewertet. Für einen Vektor z gilt

(x ⊗ y) · z = x⟨y, z⟩.

Das Ergebnis ist daher parallel zu x. Ist v ein Einheitsvektor, dann ist v ⊗ v ein Projektionsoperator. Die Abbildung

(v ⊗ v) · x = v⟨v, x⟩

projiziert x orthogonal auf die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor v.

Die Spiegelung eines Vektors x an einer Ursprungsebene mit Einheits-Normalenvektor n lautet

(I − 2n ⊗ n) · x = x − 2n⟨n, x⟩,

wobei I die Einheitsmatrix ist. Solche Spiegelungen werden beispielsweise bei der Householdertransformation verwendet.

In der digitalen Bildverarbeitung können Faltungsmatrizen als dyadische Produkte zweier Vektoren dargestellt werden. Dadurch lassen sich Weichzeichnungs- oder Kantenerkennungsfilter in zwei Durchläufen („two passes“) anwenden, was den Rechenaufwand reduziert. Der 5 × 5-Kern des Gaußschen Weichzeichners ist ein Beispiel:

(1/256) [[1,4,6,4,1], [4,16,24,16,4], [6,24,36,24,6], [4,16,24,16,4], [1,4,6,4,1]]

= (1/16)(1,4,6,4,1)ᵀ · (1/16)(1,4,6,4,1).

Koordinatenfreie Sicht und Tensoren

In einer koordinatenfreien Darstellung ist a⃗ ⊗ b⃗ mit a⃗ ∈ V₂ und b⃗ ∈ V₁ ein Tensor zweiter Stufe T im Tensorproduktraum V₂ ⊗ V₁. Ein Tensor, der als dyadisches Produkt zweier Vektoren geschrieben werden kann, heißt einfacher Tensor oder Dyade. Nicht jeder Tensor zweiter Stufe ist eine einzelne Dyade; jeder solche Tensor lässt sich aber als Summe von Dyaden darstellen.

Ist V₁ ein euklidischer Vektorraum, kann eine Dyade T = a⃗ ⊗ b⃗ auf einen Vektor c⃗ ∈ V₁ angewendet werden:

T · c⃗ = (a⃗ ⊗ b⃗) · c⃗ = (b⃗ · c⃗)a⃗ ∈ V₂.

Damit kann jeder Tensor als lineare Abbildung T: V₁ → V₂ aufgefasst werden. Der Tensorproduktraum V₂ ⊗ V₁ kann deshalb mit dem Raum 𝓛(V₁, V₂) der linearen Abbildungen von V₁ nach V₂ identifiziert werden. Diese Darstellung wird insbesondere in der Kontinuumsmechanik verwendet, meist mit V₁ = V₂ = V, dem dreidimensionalen Vektorraum der geometrischen Vektoren.

Für geeignete Vektoren und eine lineare Abbildung T gelten unter anderem

(a⃗ ⊗ b⃗) · (c⃗ ⊗ d⃗) = (b⃗ · c⃗)a⃗ ⊗ d⃗

und

(T · a⃗) ⊗ b⃗ = T · (a⃗ ⊗ b⃗).

Das Skalarprodukt zweier Tensoren kann durch die Spur definiert werden:

(a⃗ ⊗ b⃗) · (c⃗ ⊗ d⃗) = Spur((a⃗ ⊗ b⃗)ᵀ · (c⃗ ⊗ d⃗)) = (a⃗ · c⃗)(b⃗ · d⃗).

Mit Basen {a⃗ᵢ} von V₂ und {b⃗ⱼ} von V₁ besitzt der Raum der linearen Abbildungen die Basis {a⃗ᵢ ⊗ b⃗ⱼ}. Jeder Tensor kann dann als

T = ∑ᵢ₌₁ⁿ ∑ⱼ₌₁ᵐ Tⁱʲ a⃗ᵢ ⊗ b⃗ⱼ

geschrieben werden. Dabei sind n und m die Dimensionen von V₂ beziehungsweise V₁. Der Tensor selbst ist unabhängig von der gewählten Basis, seine Komponenten Tⁱʲ ändern sich bei einem Basiswechsel jedoch charakteristisch. In einer festen Basis können diese Komponenten als Matrix angeordnet werden; bei Verwendung der Standardbasis geht der Tensor in seine Matrixrepräsentation über.