Formelsammlung Tensoralgebra

Grundidee, Notation und Vektoralgebra

Die Formelsammlung behandelt Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik. Grundlage ist der reelle dreidimensionale euklidische Vektorraum 𝕍. Tensoren zweiter Stufe gehören zu 𝓛 = Lin(𝕍,𝕍) und bilden Vektoren aus 𝕍 auf Vektoren ab; Tensoren vierter Stufe bilden Tensoren aus 𝓛 auf Tensoren ab.

Indizes i, j, k, l, m, n laufen über {1,2,3}. Nach der Einstein’schen Summenkonvention wird über einen Index summiert, wenn er in einem Produkt doppelt vorkommt. Ein nur einmal auftretender Index ist frei; die Gleichung gilt dann für jeden seiner möglichen Werte. Das Kronecker-Delta ist δᵢⱼ = 1 für i = j und sonst 0. Das Permutationssymbol ϵᵢⱼₖ ist bei geraden Permutationen von (1,2,3) gleich 1, bei ungeraden gleich −1 und bei wiederholten Indizes gleich 0. Unter anderem gelten ϵᵢⱼₖϵₖₗₘ = δᵢₗδⱼₘ − δᵢₘδⱼₗ und ϵᵢⱼₖϵᵢⱼₖ = 6.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist a·b = |a||b| cos(∠(a,b)); damit gilt |a|² = a·a. Das Kreuzprodukt a×b steht senkrecht auf beiden Faktoren, ist antisymmetrisch und erfüllt |a×b|² = |a|²|b|² − (a·b)². Die Graßmann-Identität lautet a×(b×c) = (a·c)b − (a·b)c. Das Spatprodukt a·(b×c) ist die Determinante der aus a, b und c gebildeten Matrix.

Eine Basis a₁,a₂,a₃ und ihre duale Basis a¹,a²,a³ erfüllen aᵢ·aʲ = δᵢⱼ. In einer Orthonormalbasis ist jeder Basisvektor zu sich selbst dual. Vektorkomponenten erhält man durch Skalarprodukte mit den jeweils dualen Basisvektoren; bei einem Basiswechsel verändern sich die Komponenten entsprechend diesen Skalarprodukten.

Tensoren zweiter Stufe und ihre Rechenoperationen

Das dyadische Produkt a⊗u zweier Vektoren ist ein Tensor zweiter Stufe. In einer Orthonormalbasis hat es die Komponenten aᵢuⱼ. Es ist in beiden Argumenten distributiv, und Sp(a⊗u) = a·u. Die neun Dyaden eᵢ⊗eⱼ bilden eine Basis von 𝓛, sodass jeder Tensor als A = Aᵢⱼ eᵢ⊗eⱼ dargestellt werden kann. Seine Komponenten sind Aᵢⱼ = eᵢ·A·eⱼ.

Die Transposition vertauscht die Faktoren einer Dyade: (a⊗b)ᵀ = b⊗a. Es gelten (Aᵀ)ᵀ = A und (A·B)ᵀ = Bᵀ·Aᵀ. Die Wirkung einer Dyade auf einen Vektor ist (a⊗b)·v = (b·v)a. Das Tensorprodukt entspricht der Matrizenmultiplikation: In einer Orthonormalbasis ist (A·B)ᵢⱼ = AᵢₖBₖⱼ.

Das Frobenius-Skalarprodukt ist A:B = Sp(Aᵀ·B); in einer Orthonormalbasis gilt A:B = AᵢⱼBᵢⱼ. Die Frobeniusnorm wird durch ∥A∥² = A:A = Sp(Aᵀ·A) definiert. Die Bilinearform eines Tensors lautet ⟨a,b⟩ = a·A·b = A:(a⊗b). Zwei Tensoren sind identisch, wenn a·A·b = a·B·b für alle a,b∈𝕍 gilt.

Weitere Operationen sind Kreuzprodukte zwischen Vektoren und Tensoren, das Kreuzprodukt A×B und das Skalarkreuzprodukt A·×B mit Vektorwert sowie das doppelte Kreuzprodukt und das äußere Tensorprodukt A#B mit Tensorwert. Für das äußere Tensorprodukt gelten A#B = B#A, Bilinearität und A#1 = Sp(A)1 − Aᵀ; es ist im Allgemeinen nicht assoziativ. Außerdem ist cof(A) = A#A und cof(A+B) = cof(A)+cof(B)+A#B.

Invarianten, Inverse und Eigensystem

Invarianten bleiben bei einem Basiswechsel unverändert. Die drei Hauptinvarianten eines Tensors sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

• I₁(A) = Sp(A) = λ₁+λ₂+λ₃, • I₂(A) = [Sp(A)²−Sp(A²)]/2 = λ₁λ₂+λ₂λ₃+λ₃λ₁, • I₃(A) = det(A) = λ₁λ₂λ₃.

Die Spur ist in einer Orthonormalbasis Sp(A)=A₁₁+A₂₂+A₃₃ und erfüllt Sp(A·B)=Sp(B·A). Die Determinante ist multiplikativ: det(A·B)=det(A)det(B). Der Satz von Cayley-Hamilton lautet A³ = I₁(A)A² − I₂(A)A + I₃(A)1.

Kofaktor und Adjunkte sind durch cof(A)=Aᵀ·Aᵀ−I₁(A)Aᵀ+I₂(A)1 und adj(A)=A·A−I₁(A)A+I₂(A)1 definiert; dabei gilt adj(A)=cof(A)ᵀ. Sie erfüllen adj(A)·A=A·adj(A)=det(A)1. Für det(A)≠0 existiert die Inverse mit A·A⁻¹=A⁻¹·A=1 und A⁻¹=det(A)⁻¹adj(A)=det(A)⁻¹cof(A)ᵀ. Ferner gelten (A·B)⁻¹=B⁻¹·A⁻¹ und det(A⁻¹)=det(A)⁻¹.

Das Eigenwertproblem lautet A·u=λu; Linkseigenvektoren erfüllen v·A=λv. Die Eigenwerte sind Lösungen von det(A−λ1)=−λ³+I₁(A)λ²−I₂(A)λ+I₃(A)=0. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor. Die Formelsammlung betrachtet nur diagonalisierbare Tensoren. Bei dual normierten Rechts- und Linkseigenvektoren gilt vᵢ·uⱼ=δᵢⱼ, und die Spektralzerlegung ist A=λᵢuᵢ⊗vᵢ sowie 1=uᵢ⊗vᵢ. Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und orthogonale oder orthogonalisierbare Eigenvektoren; Rechts- und Linkseigenvektoren stimmen überein. Schiefsymmetrische Tensoren besitzen einen reellen Eigenwert 0 und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte ohne Realteil. Beim verallgemeinerten Eigenwertproblem (K−λM)·u=0 mit regulärem M stammen die Eigenwerte aus |K−λM|=0.

Besondere Tensoren und Zerlegungen

Der Einheitstensor 1 lässt jeden Vektor und Tensor unverändert: 1·v=v und A·1=1·A=A. Seine Hauptinvarianten sind Sp(1)=3, I₂(1)=3 und det(1)=1. Eine Dyade A=a⊗b hat Rang höchstens eins, cof(A)=0, I₂(A)=det(A)=0 und ∥A∥=|a||b|.

Ein Tensor ist symmetrisch, wenn A=Aᵀ, und schiefsymmetrisch, wenn A=−Aᵀ. Für symmetrische Tensoren gilt ∥A∥²=Sp(A²)=λ₁²+λ₂²+λ₃². Jeder schiefsymmetrische Tensor besitzt einen dualen axialen Vektor A×, sodass A·v=A××v. Seine Spur und Determinante sind null. Die Kreuzproduktmatrix [u]× ist schiefsymmetrisch und erfüllt [u]×·v=u×v sowie [u]ײ=u⊗u−(u·u)1.

Weitere Klassen sind unimodulare Tensoren mit det(H)=1, orthogonale Tensoren Q mit Q⁻¹=Qᵀ und positiv definite Tensoren mit v·A·v>0 für alle v≠0. Orthogonale Tensoren beschreiben Drehungen und Drehspiegelungen; det(Q)=+1 beziehungsweise −1. Ein Tensor ist genau dann positiv definit, wenn sein symmetrischer Anteil positiv definit ist; notwendig und hinreichend ist, dass alle Eigenwerte dieses Anteils positiv sind.

Jeder Tensor zerfällt in symmetrischen und schiefsymmetrischen Anteil sowie in Deviator und Kugelanteil: A=Aˢ+Aᴬ=Aᴰ+Aᴷ. Dabei sind Aˢ=sym(A)=(A+Aᵀ)/2, Aᴬ=skw(A)=(A−Aᵀ)/2, Aᴰ=dev(A)=A−Sp(A)1/3 und Aᴷ=sph(A)=Sp(A)1/3. Symmetrischer und schiefsymmetrischer Anteil sowie Deviator und Kugelanteil sind jeweils orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts. Daher gilt ∥A∥²=∥Aˢ∥²+∥Aᴬ∥²=∥Aᴰ∥²+∥Aᴷ∥².

Für det(F)≠0 liefert die eindeutige Polarzerlegung F=Q·U=V·Q einen orthogonalen Tensor Q und positiv definite symmetrische Strecktensoren U=(Fᵀ·F)¹ᐟ² und V=(F·Fᵀ)¹ᐟ². Bei det(F)=0 existiert die Zerlegung ebenfalls, ist aber nicht eindeutig. Die Singulärwertzerlegung lautet A=U·S·Vᵀ mit orthogonalen U,V und S=diag(s₁,s₂,s₃), wobei s₁≥s₂≥s₃≥0.

Projektionen und Tensoren vierter Stufe

Dyaden beschreiben orthogonale Projektionen. Für eine Gerade mit Einheitsrichtungsvektor e ist e⊗e der Projektor auf die Gerade und 1−e⊗e der Projektor auf die dazu senkrechte Richtung. Für eine Ebene mit Einheitsnormalenvektor c projiziert 1−c⊗c parallel in die Ebene, während c⊗c die Lotkomponente liefert.

Tensoren vierter Stufe gehören zu Lin(𝓛,𝓛) und bilden Tensoren zweiter Stufe auf solche Tensoren ab. Sie können als 𝔸=Aₚq Aₚ⊗Gq oder komponentenweise als Aᵢⱼₖₗ eᵢ⊗eⱼ⊗eₖ⊗eₗ geschrieben werden. Ihre Wirkung ist 𝔸:H=Aₚq(Gq:H)Aₚ. Der Einheitstensor vierter Stufe 𝟙 erfüllt 𝟙:A=A. Durch besondere Tensoren vierter Stufe lassen sich Transposition, Symmetrisierung, Schiefsymmetrisierung sowie die Projektion auf Deviator und Kugelanteil als lineare Abbildungen darstellen.

In der Voigt-Notation werden symmetrische Tensoren zweiter Stufe durch sechs Komponenten und geeignete Tensoren vierter Stufe durch 6×6-Matrizen dargestellt. Beim Matrizenprodukt muss L=diag(1,1,1,2,2,2) berücksichtigt werden. Nicht jeder Tensor vierter Stufe lässt sich so darstellen; er muss symmetrische Tensoren auf symmetrische Tensoren abbilden.

Ein wichtiges Beispiel ist das Hookesche Gesetz der linearen isotropen Elastizität. Mit Spannungstensor σ, Verzerrungstensor ε und Lamé-Konstanten λ und μ lautet es ℂ:ε=σ mit ℂ=2μ𝟙+λ1⊗1. Der Elastizitätstensor ℂ ist symmetrisch; sein inverser Nachgiebigkeitstensor bildet σ wieder auf ε ab.

Anwendungen und zentrale Zusammenhänge

Die Formelsammlung verbindet Vektor-, Matrix- und Tensorrechnung in einer einheitlichen Sprache. Basiswechsel ändern die Komponenten, nicht aber den geometrischen Tensor und seine Invarianten. Eigen- und Spektralzerlegung beschreiben einen Tensor durch bevorzugte Richtungen und zugehörige Eigenwerte; Singulärwert- und Polarzerlegung trennen allgemeine Abbildungen in Streckungs- und Drehanteile.

Typische Anwendungen sind Projektionen und Drehungen. Bei einer Drehung um die Einheitsachse c mit Winkel α liefert die Rodrigues-Formel Q=1+sin(α)[c]×+(1−cos(α))[c]ײ. Für diesen orthogonalen Tensor gilt det(Q)=+1, Sp(Q)=1+2cos(α), und seine Eigenwerte sind 1 sowie e^{±iα}.

In der Kontinuumsmechanik trennt die Zerlegung A=Aᴰ+Aᴷ einen spurfreien Deviator vom kugelförmigen Anteil. Tensoren vierter Stufe beschreiben lineare Beziehungen zwischen Tensoren zweiter Stufe, insbesondere die Beziehung zwischen Verzerrung und Spannung im Hookeschen Gesetz. Damit stellen die Formeln Werkzeuge für Koordinatentransformationen, Materialmodelle, Deformationen, Drehungen und die Analyse linearer Abbildungen im dreidimensionalen Raum bereit.