Zylinderspule

Grundidee und Aufbau

Eine Zylinderspule ist eine Spule, deren Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt. Die Wicklung ist dabei dünn im Vergleich zum Zylinderdurchmesser. Meist ist sie einlagig; dann verläuft der Draht helikal, also schraubenförmig um den Zylinder.

Typisch ist ein kleiner Abstand zwischen den Drahtwindungen im Verhältnis zum Durchmesser. Dadurch hat die Zylinderspule eine vergleichsweise hohe Windungszahl pro Länge. Ist die Spule deutlich länger als ihr Durchmesser, eignet sie sich besonders zum Erzeugen eines homogenen Magnetfeldes in ihrer Mitte. Dieses Feld wird solenoidales Magnetfeld genannt; eine solche Spule wird manchmal auch als Solenoid bezeichnet.

Im Grenzfall sehr kurzer Länge geht die Zylinderspule in eine kreisförmige Leiterschleife über.

Magnetfeld

Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule lässt sich durch Integration des Biot-Savart-Gesetzes berechnen. Die Spule habe die Windungszahl N, die Stromstärke I, die Länge l und den Radius R. Die Zylinderachse wird durch den Einheitsvektor ẑ beschrieben; z wird vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen. Der Abstand zur Zylinderachse heißt ρ mit dem Einheitsvektor ρ̂.

Das erzeugte Feld besitzt eine axiale Komponente Bz und eine radiale Komponente Bρ, aber keine azimutale Komponente. In Zylinderkoordinaten gilt:

B(ρ ρ̂ + z ẑ) = Bρ(ρ,z) ρ̂ + Bz(ρ,z) ẑ.

Die vollständige Berechnung verwendet die magnetische Feldkonstante μ0, Substitutionen für m und n sowie vollständige elliptische Integrale erster Art K, zweiter Art E und dritter Art Π. Es gibt neben dieser Darstellung auch alternative Ausdrücke, etwa mit Carlson-Formen, die numerisch stabiler und effizienter berechenbar sein können.

Entlang der Zylinderachse vereinfacht sich das Feld zu:

B(z ẑ) = ẑ μ0 · NI/(2l) · ((z + l/2)/√(R² + (z + l/2)²) − (z − l/2)/√(R² + (z − l/2)²)).

Im Zentrum der Spule beträgt das Feld exakt:

B(0) = ẑ μ0 · NI/√((2R)² + l²).

Lange Spule und Fernfeld

Für lange Spulen mit l ≫ 2R ist das Magnetfeld im Inneren, außer nahe den Enden, näherungsweise homogen. Dann gilt:

B ≈ ẑ μ0 · NI/l.

Außerhalb und weit weg von den Spulenenden sinkt das Feld schnell auf Null ab. Für große Abstände, also ρ² + z² ≫ R² + (l/2)², nähert sich das Feld einem Dipolfeld an. Das magnetische Moment ist:

m = NIR²π ẑ.

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen Stabmagneten mit Magnetisierung M, wobei NI dem Produkt Ml entspricht.

Induktivität

Die Induktivität L beschreibt, wie stark eine Spule bei Stromänderungen eine Spannung durch Selbstinduktion erzeugt. Für eine Zylinderspule im Vakuum lautet die exakte Formel:

L = (8 μ0 N² R²)/(3l) · (1/(2k) · cel(k,1,1,2k²) − R/l), mit k = (l/2)/√(R² + (l/2)²).

Dabei ist cel das elliptische Bulirsch-Integral und μ0 die magnetische Feldkonstante.

Für verschiedene Aspektverhältnisse l/R werden Werte für L geteilt durch μ0N²R²π/l angegeben: bei l/R = 0,01: 0,0197; 0,1: 0,124; 0,5: 0,365; 1: 0,526; 2: 0,688; 5: 0,850; 10: 0,920; 100: 0,9916; für ∞: 1.

Eine einfache Näherungsformel für nicht zu kurze Spulen ist:

L ≈ μ0N²R²π/(l + 0,9 · R).

Für l > 0,8R hat diese Formel weniger als 1 % Fehler. Bei einer sehr langen Zylinderspule mit l ≫ R und Querschnittsfläche A = R²π vereinfacht sich die Näherung weiter zu:

L ≈ μ0N²A/l.

Kerne und technische Nutzung

Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die einfache Induktivitätsformel nicht mehr anwendbar, weil dann auch der äußere Teil des Feldes wichtig wird. Bei einem geschlossenen magnetischen Kreis in Form eines hochpermeablen Rahmens kann statt der Spulenlänge die mittlere magnetische Weglänge, also der mittlere Umfang, eingesetzt werden. Statt des Spulenquerschnitts wird der mittlere Querschnitt des Rahmens verwendet. Zusätzlich muss mit der Permeabilitätszahl μr des Kernmaterials multipliziert werden.

Technisch sind Zylinderspulen wichtig, weil sie einfach berechenbar sind und wegen geringer kapazitiver Kopplung zwischen Windungen und Anschlüssen hohe Eigenresonanzfrequenzen erreichen. Deshalb eignen sie sich besonders für hohe Frequenzen, etwa als Hochfrequenzdrossel oder „UKW-Drossel“, und allgemein zur Herstellung von Induktivitäten bei hohen Frequenzen.

Für hohe Spannungen sind Zylinderspulen ebenfalls vorteilhaft, weil keine Lagenisolation nötig ist. Gegenüber mehrlagigen Spulen gleicher Induktivität haben sie größere Abmessungen, können Verlustwärme aber besser abführen.

Abgleich und Beispiele

Zylinderspulen lassen sich abgleichen, indem ihre Windungen auseinandergebogen oder auseinandergezogen werden. Wird ein Aluminium-, Ferrit- oder Eisenpulverkern eingeschoben, ist der erreichbare Variationsbereich größer als bei einer kurzen, mehrlagigen Spule. In diesem Zusammenhang wird auch das Variometer genannt.

Bei Transformatoren können Wicklungen übereinander angeordnet und jeweils als Zylinderspule ausgeführt sein. Solche Wicklungen sind durch geringe Selbstinduktion beziehungsweise Streuinduktivität geprägt und sind nicht vom Proximity-Effekt betroffen.

Ein Beispiel für eine besonders große Zylinderspule ist der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid (CMS) am CERN.