Magnetische Flussdichte

Bedeutung und grundlegende Definition

Die magnetische Flussdichte B⃗ ist eine physikalische Größe der Elektrodynamik. Sie beschreibt die Flächendichte des magnetischen Flusses, der senkrecht durch ein Flächenelement tritt. Weil sie außer einem Betrag auch eine Richtung besitzt, ist sie eine vektorielle Größe. Ihr Vektor zeigt in Richtung der magnetischen Feldlinien. Die Bezeichnung „magnetische Induktion“ gilt als nicht empfohlen; fachsprachlich kommen auch „Flussdichte“, „Magnetfeld“ und „B-Feld“ vor.

An einem Ort r⃗ kann B⃗ aus dem Vektorpotential A⃗ hergeleitet werden. Außerdem besteht der Zusammenhang B⃗ = μ · H⃗. Dabei ist H⃗ die magnetische Feldstärke und μ die magnetische Permeabilität des Materials.

Kraftwirkung und Berechnung

Die magnetische Flussdichte wird über ihre messbare Kraftwirkung auf bewegte elektrische Ladungen bestimmt. Diese Kraft heißt nach älterer Konvention Lorentzkraft, nach neuerer Konvention magnetische Komponente der Lorentzkraft. Für eine Ladung gilt:

F⃗_B = q · v⃗ × B⃗

Dabei sind F⃗_B die magnetische Kraft, q die elektrische Ladung und v⃗ ihre Geschwindigkeit. Für ein stromdurchflossenes Leiterstück gilt gleichwertig:

F⃗_B = I · s⃗ × B⃗

Hierbei ist I die Stromstärke und s⃗ ein Vektor, dessen Betrag der betrachteten Leiterlänge entspricht und dessen Orientierung der technischen Stromrichtung folgt. Die erste Gleichung wird vor allem für frei bewegliche Ladungen verwendet, beispielsweise für Elektronen in einer Braunschen Röhre. Die zweite beschreibt Ladungen in Leitern wie Drähten oder Kabeln.

Ohne Berücksichtigung der Kraftrichtung ergibt sich für den Betrag:

F_B = |q · v| · B sin α beziehungsweise F_B = |I · s| · B sin α.

Der Winkel α liegt zwischen der Bewegungs- beziehungsweise Stromrichtung und der Richtung des magnetischen Flusses. Bei senkrechter Ausrichtung ist α = 90° und sin α = 1. Dann lässt sich die Flussdichte direkt berechnen:

B = F_B / |q · v| beziehungsweise B = F_B / |I · s|.

Das Vektorprodukt in den ursprünglichen Gleichungen liefert zusätzlich die Richtung der Kraft.

Magnetischer Fluss und Quellenfreiheit

Die magnetische Flussdichte B⃗ ist über ein Flächenintegral mit dem magnetischen Fluss Φ verknüpft:

Φ = ∫ B⃗ · dA⃗.

Der magnetische Fluss durch eine Fläche hängt somit von der Flussdichte und ihrer Ausrichtung zur Fläche ab. Für jede beliebige geschlossene Oberfläche O gilt:

∮_O B⃗ · dA⃗ = 0.

Durch eine geschlossene Oberfläche tritt insgesamt also ebenso viel magnetischer Fluss nach außen wie nach innen. Magnetische Flusslinien sind in sich geschlossen; diese Eigenschaft wird als Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bezeichnet.

Mathematisch folgt die Aussage aus der homogenen Maxwellschen Gleichung div B⃗ = 0 und dem Gaußschen Satz. Dieser verknüpft für ein beliebiges Vektorfeld j⃗ das Oberflächenintegral über O mit dem Volumenintegral seiner Divergenz über das eingeschlossene Volumen V.

Einheiten und Messung

Die SI-Einheit der magnetischen Flussdichte ist das Tesla mit dem Einheitenzeichen T:

[B] = 1 T = 1 V·s/m² = 1 N/(A·m).

Eine veraltete Einheit ist das Gauß mit den Zeichen G oder Gs. Sie wird weiterhin in Astronomie und Technik verwendet. Es gilt exakt: 1 T = 10 000 G.

Gemessen werden kann die magnetische Flussdichte mit Magnetometern, Hallsensoren oder Messspulen.

Wichtige Spezialfälle

Für einen langen, geraden, stromdurchflossenen Leiter beträgt die Flussdichte im Abstand r:

B = μI/(2πr).

Ihre Richtung ergibt sich aus der Korkenzieherregel.

Im Inneren einer langen Spule gilt näherungsweise:

B = μNI/l.

N ist die Windungszahl, I die Stromstärke und l die Spulenlänge. Die Näherung setzt voraus, dass die Spule im Vergleich zu ihrem Radius lang ist, ihre Windungen dicht und gleichmäßig liegen und der betrachtete Punkt im Inneren, aber nicht nahe den Enden liegt. B⃗ verläuft parallel zur Spulenachse; außerhalb ist die Flussdichte nahezu null.

In der Mitte einer Helmholtz-Spule mit Radius R gilt:

B = μ · 8NI/(√125 · R).

Für einen magnetischen Dipol mit dem Dipolmoment m⃗ lautet die Flussdichte in einiger Entfernung am Ort r⃗:

B⃗(r⃗) = [μ/(4πr²)] · [3r⃗(m⃗ · r⃗) − m⃗r²]/r³.

Das Dipolmoment einer kreisförmigen Leiterschleife mit der orientierten Querschnittsfläche A⃗ ist m⃗ = I A⃗.