Helix

Grundidee und Windungsrichtung

Eine Helix, auch Schraubenlinie, zylindrische Spirale oder Wendel, ist eine Kurve, die sich mit konstanter Steigung um den Mantel eines Zylinders windet. Sie ist wichtig, weil sie Bewegungen, Kräfte und lange Bauteile platzsparend in eine zylindrische Form überträgt.

Die Helix kann rechts- oder linksgängig sein. Man blickt längs der Achse durch sie hindurch: Windet sie sich beim Entfernen vom Betrachter im Uhrzeigersinn, ist sie rechtsgängig, sonst linksgängig. Dies entspricht der Rechte-Faust-Regel. Die Gängigkeit ist absolut und hängt nicht davon ab, ob man von oben oder unten entlang der Achse schaut. In der Botanik wird jedoch von oben, also entgegen der Wuchsrichtung, betrachtet; daher heißen rechtsgängig wachsende Pflanzen dort linkswindend.

Eine Helix ist chiral: Sie lässt sich durch Drehen und Verschieben nicht mit ihrem Spiegelbild zur Deckung bringen. Das Spiegelbild einer Schraube mit Rechtsgewinde ist deshalb eine Schraube mit Linksgewinde.

Mathematische Beschreibung

In kartesischen Koordinaten lautet die vektorielle Beschreibung einer Schraubenlinie:

x⃗(t) = (r · cos(2πt), r · sin(2πt), h · t + c)ᵀ.

Dabei ist t ∈ ℝ die Anzahl der von x⃗(0) aus durchlaufenen Windungen. r ist der Radius, c die Verschiebung in z-Richtung und h die Ganghöhe: die Strecke, um die sich die Helix bei einer vollständigen Umdrehung in Richtung der Zylinderachse bewegt. Für linksgängige Helices ist h negativ.

Die Steigung ist k = h/(2πr). Wickelt man den Zylindermantel in die Ebene ab, wird die Helix zu einer Geraden mit der Steigung k. Der Gangwinkel lautet α = arctan(k). Ganghöhe und Gangwinkel sind besonders für die Normung technischer Gewinde wichtig.

Weitere Eigenschaften sind die Bogenlänge s(t) = 2πr√(1 + k²) · t, die konstante Krümmung κ = 1/(r(1 + k²)), der Krümmungsradius rₖ = 1/κ = r + k²r und die Windung w = k/(r(1 + k²)). Die Torsion τ = k · κ gibt an, wie stark ein Draht in sich verwunden wird, wenn er zu einer Helix geformt wird.

Bei der Zentralprojektion längs der Achse entsteht aus einer Helix eine hyperbolische Spirale. Deren Windungsradius wird stetig kleiner; die Windungen liegen in der Ebene ineinander.

Mehrgängige Formen und typische Strukturen

Eine mehrgängige Schraube besteht aus mehreren kongruenten Helices. Zwei Helices bilden eine zweigängige Schraube, wenn sie um eine halbe Ganghöhe versetzt sind, also c₂ = c₁ + h/2; gleichwertig ist ein Versatz um eine halbe Umdrehung. Die beiden Äste haben dann konstanten Abstand und berühren sich nicht. Entsprechend entstehen mit mehr Helices mehrgängige Schraubenlinien.

In der Natur dienen Helices unter anderem Pflanzenranken zur Verankerung. Das bekannteste schraubig aufgebaute Biopolymer ist die DNA als Doppelhelix aus zwei umeinanderlaufenden, komplementären DNA-Einzelsträngen. Teilabschnitte vieler Proteine, besonders integraler Membranproteine, bilden als Sekundärstruktur eine α-Helix. Auch Amylose, ein neben Amylopektin in Stärke enthaltenes Polysaccharid, hat eine Helixform und besteht pro Windung aus etwa 6 α-D-Glucoseeinheiten. In der Chemie sind Helicene Kohlenwasserstoffe mit schraubenartigem Aufbau; (P)-(+)-Heptahelicen ist rechtsschraubig, (M)-(−)-Heptahelicen linksgängig.

Technische Beispiele sind Schraubenfedern, Glühwendeln, Wendelantennen, Drahtwiderstände, Wendelrohrpatronen, Wendeltreppen und wendelförmige Rampen. Eine Doppelwendel ist eine Helix, um die eine weitere Helix verläuft, etwa beim Draht einer Glühlampe. Die Doppel-Wendeltreppe der Vatikanischen Museen ist zweigängig: Ein Treppengang kann Aufgang und der andere Abgang sein. Verkaufsautomaten schieben mit einer Drahtwendel pro Umdrehung jeweils einen Artikel nach vorn.

Kraftübertragung durch Schrauben

Die Wirkung eines Gewindes beruht auf der Keilwirkung einer schiefen Ebene, die um einen Zylinder gewickelt ist. Der Steigungswinkel übersetzt eine Bewegung entlang der langen Kathete in eine Normalbewegung entlang der kurzen Kathete. Wegen des Hebelgesetzes wird die entstehende Normalkraft um das Verhältnis der Katheten größer als die eingesetzte Kraft. Je kleiner der Steigungswinkel ist, desto stärker ist die Wirkung.

Bei einer Helix kann daher ein vergleichsweise kleines Drehmoment um die Mittelachse eine große Kraft entlang der Achse erzeugen. Dies nutzen Schraube und Mutter, archimedische Schraube und Schneckenförderer. Propeller und Gewindespindel wandeln Umdrehung in Vortrieb oder Vorschub um. Eine Justierschraube nutzt umgekehrt den kleinen Weg für eine feine Einstellung. Auch Korkenzieher sind wendelförmig. Die Spannuten von Bohrern sind wendelförmig angeordnet; die umgangssprachliche Bezeichnung „Spiralbohrer“ ist laut Artikel falsch.

Konische Schrauben erzeugen eine doppelte Keilwirkung. Als Beispiele nennt der Artikel Nagelbohrer für Weichholz, die bis etwa 1975 üblichen Holzschrauben und Maschinschrauben mit Sechskantkopf. Gewindeausdreher besitzen ein Linksgewinde.

Seile, Rohre und Schläuche

In der Seilerei werden Fasern oder Litzen verdrillt, also helixförmig „geschlagen“. Unter Zug entsteht eine zur Faser normale Kraft, die auf Nachbarfasern oder die Seele übertragen wird. Die Kräfte zwischen einzelnen Fasern oder Litzen heben sich auf; die Seele wird stark komprimiert und nimmt Energie auf. Erst das Schlagen gibt einem Seil Zusammenhalt über seinen kreisförmigen Querschnitt und ermöglicht, dass es örtliches Versagen einzelner Litzen besser verkraftet. Stärker geschlagene Seile sind bei Zug weicher.

Ein nur in eine Richtung geschlagenes Seil erzeugt unter Zug ein Drehmoment zwischen seinen Enden und kann sich entdrillen. Dagegen helfen axial drehbare Wirbel, etwa an Kranhaken, Oberleitungs-Abspannseilen, Bowdenzügen, Liftkabinen und Angelleinen. Um Drall möglichst zu vermeiden, werden Litzen und Seil oft in entgegengesetzten Richtungen geschlagen oder Lagen mit wechselnder Schlagrichtung verseilt. Drallfreie Seile sind beispielsweise für Seilbahnen über Tragrollen wichtig. Geflochtene Seile verweben links- und rechtsverdrillte Faserbündel; Kern-Mantel-Seile, textile Hebeschlingen und viele Schnürsenkel haben im Kern unverdrillte Faserbündel.

Wendeln dienen auch zur Herstellung und Funktion von Rohren und Schläuchen. Lüftungsrohre aus verzinktem Stahlblech haben typisch 20–60 cm Durchmesser; dickwandige Rohre für Pipelines, Fernwärme oder Kraftwerksdruckrohre werden mit 30 bis 400 cm Durchmesser aus gewendelten und verschweißten Blechen gefertigt. Gewendelte Metallstreifen machen Schutzschläuche und Schwanenhälse stark krümmbar oder dehnbar. Kartonhülsen entstehen durch endloses wendelndes Wickeln. Staubsauger- und Absaugschläuche können durch gewendelte Rillen oder einen innenliegenden Drahtwendel biegsam bleiben und gegen Unterdruck stabilisiert werden.

Helixbahnen in der Physik und Kunst

Ein elektrisch geladenes Teilchen bewegt sich im Magnetfeld auf einer schraubenförmigen Bahn, wenn seine Bewegungsrichtung weder parallel, antiparallel noch quer zur Nord-Süd-Ausrichtung des Magnetfeldes ist. Die Lorentzkraft zwingt es auf diese Bahn, die sich aus einer geraden Bahn und einer Kreisbahn überlagert. Bei paralleler oder antiparalleler Bewegung entsteht eine Gerade, bei quer gerichteter Bewegung eine Kreisbahn. Gibt ein Teilchen auf der Kreisbahn Energie durch elektromagnetische Strahlung ab, wird die Bahn zu einer immer engeren Spiralbahn. Energieverluste und inhomogene Magnetfelder können konische Spiralen aus der Überlagerung von Schraube und Spirale erzeugen.

Bei Wasser- und Fallschirmspringen sowie Sprungakrobatik bewegen sich außenliegende Körperpunkte während einer Schraubendrehung entlang einer Helix, die zusätzlich entlang einer Wurfparabel gekrümmt sein kann. Im Kunstflug heißt die entsprechende Figur Rolle. Auch Punkte auf einem drallstabilisierten Geschoss, rotierenden Pfeilen oder einfachen Raketen können Helixbahnen beschreiben.

Als Kunstbeispiel nennt der Artikel die von Louis Constantin von 1970 bis 1973 geschaffene „Blaue Spirale“ in München: eine 9 Meter lange und drei Meter durchmessende freitragende Kunststoffskulptur.