Magnetisches Dipolmoment

Grundidee und Wirkung im Magnetfeld

Das magnetische Dipolmoment, auch magnetisches Moment genannt, ist eine physikalische Vektorgröße mit den Formelzeichen \vec m oder \vec\mu. Sein Betrag beschreibt die Stärke eines magnetischen Dipols, seine Richtung die Orientierung des Dipols. Die Definition ist analog zum elektrischen Dipolmoment. Wichtige Beispiele für magnetische Dipole sind Kompassnadel, Stabmagnet und der Rotor im Elektromotor.

Befindet sich ein magnetischer Dipol in einem äußeren Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte \vec B, wirkt auf ihn ein Drehmoment \vec\tau=\vec m\times\vec B. Der Betrag ist |\vec\tau|=|\vec m|\,|\vec B|\sin\theta, wobei \theta der Winkel zwischen Dipolmoment und Feld ist. Das Drehmoment dreht den Dipol so, dass dieser Winkel kleiner wird. Die potentielle Energie hängt vom Einstellwinkel ab: E_{\text{pot}}=-|\vec m|\,|\vec B|\cos\theta=-\vec m\cdot\vec B.

Einheiten und Entstehung

Im Internationalen Einheitensystem (SI) hat das magnetische Moment die Einheit 1\,\mathrm{Nm/T}=1\,\mathrm{J/T}=1\,\mathrm{A\,m^2}. Manchmal wird das Produkt aus \vec m und der magnetischen Feldkonstante \mu_0 verwendet; dieses hat die SI-Einheit \mathrm{N\,m^2/A}=\mathrm{T\,m^3}. Im gaußschen cgs-System ist die Einheit Erg/Gauß (erg/G), früher e.m.u. genannt.

Ein magnetisches Moment kann auf zwei Arten entstehen: durch bewegte elektrische Ladungen, also elektrischen Strom, oder durch den Eigendrehimpuls, den Spin, elektrisch geladener Elementarteilchen. Für eine räumliche Stromdichteverteilung \vec\jmath(\vec r) gilt allgemein: \vec m=\frac12\int \mathrm d^3r\,[\vec r\times\vec\jmath(\vec r)].

Stromschleifen, Spulen und Kreisbahnen

Bei einer ebenen geschlossenen Leiterschleife ergibt sich das magnetische Dipolmoment aus Stromstärke und umflossener Fläche. Für eine stromumflossene ebene Fläche \vec A gilt \vec m=I\cdot\vec A=I\cdot A\cdot\vec n_A. Der Normalenvektor \vec n_A ist so orientiert, dass er bei gegen den Uhrzeigersinn fließendem Strom nach oben zeigt. Vereinfacht lautet der Betrag |\vec m|=I\cdot A. Bei einer Spule mit n Windungen wird das Moment entsprechend verstärkt: \vec m=n\cdot I\cdot\vec A. Dieses Prinzip ist eine Grundlage für Elektromotoren.

Bewegt sich klassisch ein Teilchen mit Masse M und Ladung Q auf einer Kreisbahn mit Radius r und Umlaufperiode T, entspricht das einem Kreisstrom I=Q/T um die Fläche A=\pi r^2. Das magnetische Moment hat den Betrag |\vec m|=(Q/T)\pi r^2. Es ist mit dem Bahndrehimpuls L=(2\pi/T)Mr^2 verknüpft durch \vec m=\gamma\vec L mit \gamma=Q/(2M). Dieser Faktor heißt gyromagnetisches Verhältnis.

Quantenmechanisch gilt diese Beziehung ebenfalls, aber der Drehimpuls ist quantisiert. Der Bahndrehimpuls kann nur Beträge \sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar mit \ell=0,1,2,\ldots annehmen. Seine Komponente entlang einer Achse, etwa der Magnetfeldrichtung, ist m\hbar mit m=-\ell,\ldots,0,\ldots,\ell. Daher nimmt auch das magnetische Bahnmoment entlang der Feldrichtung nur diskrete Werte an: |\vec\mu_z|=m\cdot\mu_B, mit dem Bohrschen Magneton \mu_B=e\hbar/(2m_e).

Spin und intrinsische Momente

Elektronen und andere Teilchen besitzen eine unveränderliche Eigenschaft namens Spin \vec s, die einem Eigendrehimpuls entspricht. Der Spin kann halb- oder ganzzahlige Werte s\cdot\hbar annehmen; beim Elektron ist s=\tfrac12. Das zugehörige magnetische Moment wird durch \vec\mu=\gamma\vec s beschrieben. Beim Elektron beträgt es jedoch nicht \tfrac12\mu_B, wie klassisch zu erwarten wäre, sondern \mu_B. Diese Abweichung wird quantentheoretisch erklärt und allgemein durch den Landé-Faktor g beschrieben. Für das Elektron und alle fundamentalen Spin-½-Teilchen ist g=2.

Beim Proton weicht der Landé-Faktor deutlich von 2 ab, und beim ungeladenen Neutron ist das magnetische Moment nicht Null. Der Grund ist, dass diese Teilchen nicht elementar sind, sondern aus Quarks bestehen. Die intrinsischen magnetischen Momente von Elektronen verursachen magnetische Ordnung, etwa Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus. In Ferromagneten wie Eisen, Cobalt, Nickel oder Gadolinium sind Elektronenspins parallel ausgerichtet und bleiben auch ohne äußeres Magnetfeld so. Solche Materialien werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet. Das höchste magnetische Moment unter den Elementen besitzen Holmium und Dysprosium gemeinsam.

Wenn Teilchen zusätzlich zum Spin einen Bahndrehimpuls besitzen, etwa an einen Atomkern gebundene Elektronen, ist das gesamte magnetische Moment die Summe aus Spinmoment und Bahnmoment: \vec\mu=\vec\mu_s+\vec\mu_\ell. Dabei gilt \vec\mu_s=-g_s\mu_B\vec s/\hbar und \vec\mu_\ell=-g_\ell\mu_B\vec\ell/\hbar. Die Faktoren g_s und g_\ell sind die Landé-Faktoren der jeweiligen Anteile; g_\ell ist im Allgemeinen nicht 2. Das gesamte magnetische Moment ist deshalb nicht unbedingt parallel zum Gesamtdrehimpuls. Zusammengesetzte Teilchen mit Gesamtspin 0 können aus quantenmechanischen Gründen kein magnetisches Moment haben.

Feld, Kräfte und Drehmomente von Dipolen

Ein magnetischer Dipol \vec m am Koordinatenursprung erzeugt am Ort \vec r die magnetische Flussdichte \vec B(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{3\vec r(\vec m\cdot\vec r)-\vec m r^2}{r^5}. Hier ist \mu_0 die magnetische Feldkonstante. Am Ursprung divergiert das Feld; außerhalb des Ursprungs verschwinden sowohl Rotation als auch Divergenz. Das Vektorpotential lautet \vec A(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec m\times\vec r}{r^3}, wobei \vec B=\nabla\times\vec A. Das magnetische Skalarpotential ist \psi(\vec r)=\frac{1}{4\pi}\frac{\vec m\cdot\vec r}{r^3}.

Zwischen zwei magnetischen Dipolen wirken Kräfte und Drehmomente. Die Kraft von Dipol 1 auf Dipol 2 ist der Gradient der potentiellen Energie: \vec F=\nabla(\vec m_2\cdot\vec B_1), wobei \vec B_1 das Feld von Dipol 1 am Ort von Dipol 2 ist. Das Drehmoment von Dipol 1 auf Dipol 2 lautet \vec\tau=\vec m_2\times\vec B_1. Die entsprechenden Wirkungen auf Dipol 1 sind reziprok. Sind mehrere Dipole vorhanden, können Kräfte oder Drehmomente vektoriell addiert werden. Für weichmagnetische Werkstoffe gelten diese Gleichungen nicht direkt, weil sie einen feldabhängigen Dipol ausbilden.