Zeitkonstante

Bedeutung und Grundidee

Die Zeitkonstante T beziehungsweise τ ist eine charakteristische Größe eines linearen dynamischen Systems. Sie hat die Dimension Zeit und wird meist in Sekunden angegeben. Ein dynamisches System verarbeitet Signale: Die Eingangsgröße u(t) wirkt als Ursache, die Ausgangsgröße y(t) beschreibt die zeitliche Wirkung. Wie y(t) verläuft, hängt sowohl vom System als auch vom Eingangssignal ab.

Ein wichtiges Beispiel ist das Verzögerungsglied 1. Ordnung, kurz PT₁-Glied. Bei einem elektrischen RC-Tiefpass gilt T = R·C. Nach einem Eingangssprung nähert sich das Ausgangssignal exponentiell seinem Endwert. Bei der Verstärkung K = 1 erreicht es nach etwa 3T rund 95 % des Eingangswerts.

Lineare Systeme können durch gewöhnliche Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten oder durch die zugehörige Übertragungsfunktion G(s) beschrieben werden. Die Laplace-Transformation überführt die Differentialgleichung aus dem Zeitbereich in den komplexen Frequenzbereich. Dabei entsteht G(s) = Y(s)/U(s), also das Verhältnis der transformierten Ausgangs- und Eingangsgröße. Voraussetzung für diese Definition sind verschwindende Anfangswerte der inneren Energiespeicher.

Die Laplace-Variable s = δ + jω besitzt einen Realteil δ und einen Imaginärteil jω. Eine Ableitung n-ter Ordnung wird bei der Transformation durch sⁿ dargestellt. Die Zeitkonstantendarstellung macht anschließend sichtbar, welche elementaren Teilsysteme und charakteristischen Zeiten im Gesamtsystem enthalten sind.

Ermittlung aus Differentialgleichung und Übertragungsfunktion

Für eine allgemeine lineare Differentialgleichung

aₙy⁽ⁿ⁾ + … + a₂ÿ + a₁ẏ + a₀y = bₘu⁽ᵐ⁾ + … + b₂ü + b₁u̇ + b₀u

ergibt die Laplace-Transformation

G(s) = Y(s)/U(s) = (bₘsᵐ + … + b₂s² + b₁s + b₀)/(aₙsⁿ + … + a₂s² + a₁s + a₀).

Die Nullstellen des Nennerpolynoms heißen Pole sₚᵢ, die Nullstellen des Zählerpolynoms heißen Nullstellen sₙᵢ. Sie gehören zu den wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens. Durch Faktorisierung entsteht die Pol-Nullstellen-Darstellung

G(s) = k·[(s−sₙ₁)(s−sₙ₂)…(s−sₙₘ)]/[(s−sₚ₁)(s−sₚ₂)…(s−sₚₙ)].

Pole und Nullstellen können null, negativ reell oder negativ konjugiert komplex sein. Daraus entstehen im Zähler und Nenner insgesamt sechs Grundformen. Negative reelle Pole oder Nullstellen liefern Faktoren der Form T·s + 1. Ihre Zeitkonstanten sind die Kehrwerte der Beträge:

Tᵢ = 1/|sₚᵢ| beziehungsweise Tᵢ = 1/|sₙᵢ|.

Bei einem Pol oder einer Nullstelle bei null entsteht der Faktor s. Die Größen Tₙ beim I-Glied 1/(Tₙ·s) und Tᵥ beim D-Glied Tᵥ·s sind dabei ihrer Definition nach Proportionalitätsfaktoren Kᵢ beziehungsweise Kᴅ.

Konjugiert komplexe Pole oder Nullstellen −δ ± jω führen zu einem nicht weiter zerlegbaren Faktor 2. Ordnung. Seine Normalform lautet

T²s² + 2DTs + 1,

wobei T = 1/ω und D der Dämpfungsgrad mit 0 < D < 1 ist. Bei einem PT₂ₖₖ-Glied hängen Verlauf und Schwingung der Sprungantwort von T und D ab. Für D ≥ 1 kann das System in zwei PT₁-Glieder zerlegt werden.

Elementarsysteme und Zeitverhalten

Aus den Faktoren im Zähler und Nenner entstehen sechs stabile Elementarsysteme:

• I-Glied: G(s) = 1/(Tₙ·s), Pol bei sₚ = 0. • D-Glied: G(s) = Tᵥ·s, Nullstelle bei sₙ = 0. • PT₁-Glied: G(s) = K/(T·s + 1), negativer reeller Pol. • PD₁-Glied: G(s) = T·s + 1, negative reelle Nullstelle. • PT₂ₖₖ-Glied oder Schwingungsglied: G(s) = K/(T²s² + 2TDs + 1), konjugiert komplexe Pole. • PD₂ₖₖ-Glied: G(s) = K(T²s² + 2TDs + 1), konjugiert komplexe Nullstellen.

Faktoren des Nennerpolynoms wirken zeitverzögernd, Faktoren des Zählerpolynoms differenzierend. Differenzierende Faktoren verändern in Verbindung mit den verzögernden Nennerfaktoren die Signalamplituden. Ein PD₁-Glied kann ein PT₁-Glied mit derselben Zeitkonstante vollständig kompensieren; Entsprechendes gilt für PD₂- und PT₂-Glieder. Für ein berechenbares Gesamtübertragungssystem muss die Anzahl der Nennerfaktoren mindestens so groß wie die Anzahl der Zählerfaktoren sein: n ≥ m.

Ideale differenzierende Glieder ändern ihre Ausgangsgröße unmittelbar im Bereich 0 bis 0₊. Ihre Sprung- oder Impulsantwort lässt sich deshalb allein nicht sinnvoll grafisch darstellen; anschaulich wird ihr Verhalten bei einer Anstiegsfunktion. Technisch benötigen sie ein parasitäres, also zusätzlich auftretendes PT₁-Glied, dessen Zeitkonstante wesentlich kleiner als diejenige des D- oder PD₁-Gliedes sein muss.

PT₂ₖₖ-Glieder können abhängig von D gedämpft schwingen und sich dabei exponentiell einem Endwert nähern. Positive Realteile von Polen oder Nullstellen ergeben negative Zeitkonstanten. Systeme mit positiven Polen sind instabil: Nach einem positiven Eingangssignal steigt ihr Ausgangssignal exponentiell progressiv bis zu einer Begrenzung an und kehrt erst bei negativem Eingangssignal zurück.

PT₁-Glied, RC-Tiefpass und Sprungantwort

Für die Differentialgleichung 1. Ordnung

a₁·ẏ(t) + a₀·y(t) = b₀·u(t)

ist die Zeitkonstante unmittelbar als T = a₁/a₀ bestimmbar. Mit K = b₀/a₀ folgt die Normalform des PT₁-Gliedes:

G(s) = K/(T·s + 1).

Beim RC-Tiefpass ergibt die Maschengleichung −Uₑ + Uᴿ + Uᶜ = 0 zusammen mit i = C·dUᶜ/dt die Differentialgleichung

R·C·dUᶜ/dt + Uᶜ = Uₑ.

Daraus folgt G(s) = 1/(R·C·s + 1) = 1/(T·s + 1) mit T = R·C. Dasselbe Ergebnis erhält man über das Verhältnis der komplexen Widerstände mit p = jω und Zᶜ = 1/(p·C): G(p) = 1/(T·p + 1). Der Frequenzgang G(p) ist ein messbarer Spezialfall der Übertragungsfunktion.

Für einen normierten Eingangssprung gilt U(s) = 1/s. Beim PT₁-Glied wird damit Y(s) = 1/[s(T·s + 1)]. Die Rücktransformation liefert unter Einbeziehung der Verstärkung

y(t) = K·(1 − e^(−t/T)),

wobei e ≈ 2,71828 ist. Beim normierten Rücksprung von 1 auf 0 gilt y(t) = e^(−t/T). Nach T sind beim Ansprung 63,2 % erreicht und beim Rücksprung 36,8 % übrig. Nach 2T lauten die Werte 86,5 % und 13,5 %, nach 3T 95,0 % und 5,0 %, nach 4T 98,2 % und 1,8 % sowie nach 5T 99,3 % und 0,7 %.

Ein RL-Hochpass besitzt mit T = L/R die Übertragungsfunktion G(p) = T·p/(T·p + 1). Er entspricht einer Reihenschaltung aus PT₁- und D-Glied. Nach einem normierten Eingangssprung springt sein Ausgang bei t = 0 auf 1 und fällt für t > 0 nach y(t) = e^(−t/T) exponentiell gegen 0.

Testsignale, Berechnung und Beispiel 2. Ordnung

Testsignale dienen dazu, Systeme zu untersuchen, ihre Stabilität zu prüfen und Eigenschaften zu bestimmen. Sie beginnen bei t = 0 und haben für t < 0 die Amplitude null. Wichtige Signale und ihre Laplace-Transformierten sind:

• Impulsfunktion: Uδ(s) = 1; die Reaktion heißt Impulsantwort oder Gewichtsfunktion. • Sprungfunktion: Uσ(s) = 1/s; die Reaktion heißt Sprungantwort oder Übergangsfunktion. • Anstiegsfunktion oder Rampe: Uₐ(s) = 1/s²; die Reaktion heißt Anstiegs- oder Rampenantwort. • Sinusfunktion: Uₛ(s) = ω/(s² + ω²); die Reaktion beschreibt den Frequenzgang.

Allgemein gilt für das Ausgangssignal y(t) = ℒ⁻¹{G(s)·U(s)}. Alternativ lässt sich eine faktorielle Übertragungsfunktion in Partialbrüche zerlegen oder das Verhalten numerisch durch Differenzengleichungen annähern. Diese berechnen für ein kleines Intervall h = Δx schrittweise eine Wertefolge. Besonders bei Systemen höherer Ordnung mit reellen und konjugiert komplexen Nullstellen ist die numerische Berechnung häufig einfacher als eine Rücktransformation mit umfangreichen Exponential- und trigonometrischen Funktionen.

Als Beispiel sei 2ÿ(t) + 3ẏ(t) + y(t) = u(t) gegeben. Daraus folgt

G(s) = 1/(2s² + 3s + 1) = 0,5/(s² + 1,5s + 0,5).

Mit der pq-Formel ergeben sich aus s² + 1,5s + 0,5 = 0 die Pole sₚ₁ = −1 und sₚ₂ = −0,5. Die Übertragungsfunktion lässt sich daher schreiben als

G(s) = 1/[(s + 1)(2s + 1)].

Das System besteht somit aus zwei PT₁-Gliedern mit T₁ = 1 und T₂ = 2. Eine Hardware-Nachbildung durch zwei RC-Glieder in Reihe erfordert eine belastungsfreie Entkopplung.