Spannungsteiler

Grundprinzip

Ein Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung aus passiven elektrischen Zweipolen, durch die eine elektrische Spannung in Teilspannungen aufgeteilt wird. Ein passiver Zweipol ist ein Bauelement oder Schaltungsteil mit zwei Anschlüssen, das keine eigene Spannungs- oder Stromquelle enthält. Der Spannungsteiler ist wichtig, weil man damit aus einer gegebenen Eingangsspannung eine kleinere oder allgemein eine bestimmte Teilspannung gewinnen oder messen kann.

Der Standardfall besteht aus zwei in Reihe geschalteten ohmschen Widerständen R_1 und R_2. Ein ohmscher Widerstand ist ein Widerstand, für den das Ohmsche Gesetz gilt. Der Gesamtwiderstand der Reihenschaltung ist R_ges = R_1 + R_2. Mit der Gesamtspannung U ergibt sich der Strom nach dem Ohmschen Gesetz zu I = U / R_ges = U / (R_1 + R_2). Da in einer Reihenschaltung durch alle Bauteile derselbe Strom fließt, ist die Spannung über R_2 gleich U_2 = I · R_2.

Setzt man den Strom ein, erhält man die Grundformel des einfachen Spannungsteilers: U_2 = U · R_2 / (R_1 + R_2). Daraus folgt das Verhältnis U_2 / U = R_2 / (R_1 + R_2). Die Teilspannung über R_2 verhält sich also zur Gesamtspannung genauso wie R_2 zum Gesamtwiderstand. Entsprechend gelten auch R_1 / U_1 = R_2 / U_2 und U_1 / U_2 = R_1 / R_2. Diese Gleichungen werden zur Dimensionierung verwendet, also zur Auswahl geeigneter Widerstände in Bezug auf Verlustleistung, gewünschte Ausgangsspannung sowie Last- und Querstrom.

Spannungsteilerregel

Die Spannungsteilerregel dient dazu, Teilspannungen direkt aus den Teilwiderständen und der Gesamtspannung zu berechnen. Für zwei Widerstände ist die oben genannte Formel ein Spezialfall dieser Regel. Allgemein lautet sie: Teilspannung / Gesamtspannung = Widerstand unter Teilspannungsabfall / Gesamtwiderstand.

Die Regel ist nur anwendbar, wenn alle Bauelemente, auf die sich die Gesamtspannung aufteilt, linear und passiv sind. Linear bedeutet hier, dass sich Spannung und Strom proportional verhalten. Wenn aktive Bauelemente wie Quellen vorkommen, muss stattdessen zum Beispiel das Knotenpotentialverfahren oder das Maschenstromverfahren verwendet werden.

Für n in Reihe geschaltete Widerstände mit i = 1, …, n und für die Teilspannung über den Widerstand k gilt: n und k sind ganzzahlig, n ≥ 1 und 1 ≤ k ≤ n. Widerstände in Parallelschaltungen müssen zuerst zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden, damit die Formel in dieser Form verwendet werden kann. Der Gesamtwiderstand bezieht sich nur auf die Widerstände, über die die betrachtete Gesamtspannung abfällt. Widerstände vor, nach oder in parallelen Zweigen außerhalb dieses Abschnitts werden nicht berücksichtigt. Bei Schaltungen mit inneren parallelen Verzweigungen muss die Spannungsteilerregel gegebenenfalls mehrmals angewendet werden.

Gleich- und Wechselspannung

Bei Gleichspannung treten nur reellwertige Widerstandswerte auf, also ohmsche Widerstände. Für die Teilspannung U_k über dem Widerstand R_k gilt: U_k / U = R_k / R mit dem Gesamtwiderstand R = Σ_{i=1}^{n} R_i. Bei Gleichspannung sind die einzelnen Teilspannungen immer kleiner als die Gesamtspannung. Das Verhältnis von Teilspannung zu Gesamtspannung liegt zwischen 0 und 1. Die Teilspannungen sind proportional zu den Widerständen, über denen sie abfallen: Je kleiner der Widerstand ist, desto kleiner ist die Teilspannung; je größer der Widerstand ist, desto größer ist die Teilspannung. Ein typisches Beispiel für einen einstellbaren Spannungsteiler ist das Potentiometer. Dabei wird über einen verschiebbaren Kontakt auf einem durchgehenden Widerstandskörper das Teilungsverhältnis veränderlich eingestellt.

Bei harmonischer Wechselspannung mit konstanter Kreisfrequenz ω können neben ohmschen Widerständen auch komplexe Widerstände auftreten. Diese heißen Impedanzen. Sie können zum Beispiel durch Kapazitäten in einem kapazitiven Spannungsteiler oder durch Induktivitäten in einem induktiven Spannungsteiler entstehen. Die Berechnung gehört dann zur komplexen Wechselstromrechnung. Es gilt: U_k unterstrichen / U unterstrichen = Z_k unterstrichen / Z unterstrichen mit der Gesamtimpedanz Z unterstrichen = Σ_{i=1}^{n} Z_i unterstrichen.

Bei Wechselspannung können Teilspannungen an Kapazitäten und Induktivitäten durch Resonanz größer als die Gesamtspannung werden, weil in den Impedanzen Energie gespeichert wird. Wichtig ist, dass die Impedanzen, besonders Induktivitäten, untereinander nicht über ihre im elektrischen oder magnetischen Feld gespeicherte Energie gekoppelt sind. Das entspricht der Forderung nach passiven Zweipolen ohne Spannungs- oder Stromquellen.

Magnetische Kreise

Der Begriff Spannungsteiler wird auch bei magnetischen Kreisen verwendet. Dort beschreibt er die Aufteilung der magnetischen Spannung, auch Durchflutung genannt, entlang magnetischer Widerstände. In magnetischen Kreisen teilt sich die magnetische Spannung nur auf magnetische Widerstände auf.

Für die Teilspannung U_{m_k} über dem magnetischen Widerstand R_{m_k} gilt: U_{m_k} / U_m = R_{m_k} / R_m mit dem Gesamtwiderstand R_m = Σ_{i=1}^{n} R_{m_i}. Die Form der Regel entspricht also der elektrischen Spannungsteilerregel, nur werden magnetische Größen eingesetzt.

Ein Beispiel ist ein magnetischer Spannungsteiler aus zwei magnetischen Widerständen, etwa R_{m_Fe} und R_{m_Air}. Für die Teilspannungen gelten U_{m_Fe} / Θ = R_{m_Fe} / R_m und U_{m_Air} / Θ = R_{m_Air} / R_m. Der Gesamtwiderstand ist dabei R_m = R_{m_Fe} + R_{m_Air}.

Reale und belastete Spannungsteiler

In der einfachen Rechnung wird oft angenommen, dass die Quelle den Widerstand R_Q = 0 und die Last den Widerstand R_L = ∞ hat. In der Realität ist das meistens nicht der Fall. Dann wird der obere Widerstand R_1 durch R_1 + R_Q ersetzt. Der untere Widerstand R_2 wird durch die Parallelschaltung von R_2 und R_L ersetzt: R_2 || R_L = R_2 R_L / (R_2 + R_L). Daraus ergibt sich U_2 = U · [(R_2 R_L / (R_2 + R_L)) / ((R_2 R_L / (R_2 + R_L)) + R_1 + R_Q)].

Ein belasteter Spannungsteiler entsteht, wenn am Ausgang über R_2 eine Last mit dem Widerstand R_L parallel angeschlossen wird. Der Ersatzwiderstand der Parallelschaltung aus R_2 und R_L heißt R_P und ist kleiner als der kleinste Teilwiderstand der Parallelschaltung. Er wird berechnet mit R_P = R_2 || R_L = (R_2 · R_L) / (R_2 + R_L). Weil der Widerstand kleiner wird, sinkt nach der Spannungsteilerregel auch die Spannung U_2 proportional dazu. Sie lautet nun U_2 = U · R_P / (R_1 + R_P).

Der Einfluss des Lastwiderstands kann mit einer Ersatzspannungsquelle, dem Thévenin-Äquivalent, dargestellt werden. Ohne R_L erhält man die Leerlaufspannung U_{2,LL} = U · R_2 / (R_1 + R_2) und den Innenwiderstand R_i = R_1 || R_2 = 1 / (1/R_1 + 1/R_2) = (R_1 · R_2) / (R_1 + R_2). Mit der Last ergibt sich ein einfacherer Spannungsteiler aus R_i und R_L: U_2 = U_{2,LL} · R_L / (R_i + R_L). Damit die Last die Ausgangsspannung nur wenig beeinflusst, sollte der Innenwiderstand deutlich kleiner als die Last sein: R_i << R_L, konkret R_i < 1/10 · R_L.

Typische Beispiele und Anwendungen

Bei einer Schaltung mit innerer Verzweigung muss die Spannungsteilerregel mehrmals angewendet werden. Gesucht ist zum Beispiel die Spannung über R_{21}. Zuerst wird die Spannung U_2 über der Parallelschaltung berechnet: U_2 / U = R_2 / (R_1 + R_2), wobei R_2 = (R_{21} + R_{22}) || R_{23}. Danach wird die Teilspannung U_{21} über R_{21} aus der Reihenschaltung von R_{21} und R_{22} berechnet: U_{21} / U_2 = R_{21} / (R_{21} + R_{22}). Multipliziert man beide Gleichungen, erhält man U_{21} / U = [R_2 / (R_1 + R_2)] · [R_{21} / (R_{21} + R_{22})].

Spannungsteiler werden zur Pegelanpassung und in Dämpfungsgliedern verwendet, zum Beispiel zur Lautstärkeregelung. In der Spannungsmessung besitzen Vielfachmessgeräte umschaltbare Spannungsteiler für verschiedene Messbereiche. Messspitzen für Oszilloskope enthalten oft Spannungsteiler mit Teilerverhältnissen von 10 zu 1 oder 100 zu 1. Zusätzlich besitzen sie meist eine Frequenzkompensation, die Leitungs- und Eingangskapazität bei Wechselspannungsmessungen ausgleicht; sie ist oft einstell- oder abgleichbar und bildet einen parallel liegenden kapazitiven Spannungsteiler.

Für Hochspannungsmessungen werden Hochspannungs-Messspitzen oder -tastköpfe mit Teilerverhältnissen von 1000:1 oder größer eingesetzt. Eingangsspannungen bis etwa 40 kV sind gängig. Der obere Teilwiderstand beträgt ungefähr 1…100 GΩ, und häufig wird der Eingangswiderstand des Messgerätes, zum Beispiel 1 oder 10 MΩ, berücksichtigt. Außerdem werden induktive und resistive Spannungsteiler zur Positions- und Winkelbestimmung sowie in Beschleunigungsaufnehmern verwendet. Induktive Spannungsteiler können in der Messtechnik hochpräzise Spannungsverhältnisse liefern, die fast ausschließlich vom Windungszahlenverhältnis des verwendeten Transformators abhängen. Durch Kombination von Spannungsteilern lassen sich Brückenschaltungen erstellen. Eine spezielle Bauform mit fixen Widerständen und Stufenschalter ist der Kelvin-Varley-Spannungsteiler; er erlaubt die wiederholbare Einstellung der Teilerwerte des Spannungsverhältnisses.