Delta-Distribution

Begriff und genaue Definition

Die Delta-Distribution, meist mit δ bezeichnet, ist eine spezielle singuläre Distribution mit kompaktem Träger. Sie ist keine gewöhnliche Funktion, sondern ein stetiges lineares Funktional: Sie nimmt eine Testfunktion f und liefert deren Wert im Ursprung. Für den Raum 𝓔 = C∞(Ω) der beliebig oft differenzierbaren Funktionen auf einer offenen Menge Ω ⊂ ℝⁿ beziehungsweise Ω ⊂ ℂⁿ mit 0 ∈ Ω gilt

δ: 𝓔 → 𝕂, f ↦ f(0),

also ⟨δ,f⟩ = δ(f) = f(0), wobei 𝕂 = ℝ oder ℂ ist. Häufig schreibt man symbolisch

∫Ω δ(x)f(x) dx = f(0).

Dieses Integral ist weder ein Riemann-Integral noch ein Lebesgue-Integral bezüglich des Lebesgue-Maßes. Es bezeichnet lediglich die Wirkung des Funktionals δ auf f. Insbesondere existiert keine lokal integrierbare Funktion δ(x), die diese Eigenschaft für alle Testfunktionen erfüllt. Bezeichnungen wie Delta-Funktion oder Dirac-Funktion sind deshalb zwar gebräuchlich, mathematisch aber ungenau.

Eine gleichwertige Beschreibung verwendet das Diracmaß. Für A ⊆ ℝ ist

δ(A) = 1, falls 0 ∈ A, und δ(A) = 0 sonst.

Das daraus entstehende Funktional erfüllt ∫f(x) dδ = f(0). Physikalisch kann das Diracmaß als Punktmasse der Masse 1 oder Punktladung der Ladung 1 im Ursprung verstanden werden. Punktladungen qi an Stellen xi erzeugen entsprechend das Maß ρ(A) = ∑i_A qi und die Distribution ⟨ρ,f⟩ = ∑i_A f(xi)qi, sofern die Summe aller Ladungen endlich bleibt.

Approximation durch Funktionenfolgen

Obwohl δ keine gewöhnliche Funktion ist, kann die Delta-Distribution als distributioneller Grenzwert geeigneter Funktionenfolgen dargestellt werden. Eine Folge integrierbarer Funktionen δk ∈ L¹(ℝⁿ) heißt Dirac-Folge, wenn drei Bedingungen gelten:

• δk(x) ≥ 0 für alle x und k.

• ∫ℝⁿ δk(x) dx = 1 für jedes k.

• Für jedes ε > 0 verschwindet im Grenzwert die Masse außerhalb der Kugel Bε(0): lim(k→∞) ∫ℝⁿ∖Bε(0) δk(x) dx = 0.

Aus einer nichtnegativen Funktion φ ∈ L¹(ℝⁿ) mit ∫φ(x) dx = 1 erhält man beispielsweise die Schar δε(x) = ε⁻ⁿφ(x/ε). Für ε → 0 konzentriert sie sich im Ursprung. Als reguläre Distribution wirkt jede Näherungsfunktion durch ⟨δk,f⟩ = ∫δk(x)f(x) dx. Dann gilt

lim(k→∞) ⟨δk,f⟩ = f(0) = ⟨δ,f⟩.

Anschaulich werden die Näherungsfunktionen immer schmaler und höher, während ihre Fläche beziehungsweise im Mehrdimensionalen ihr Volumen gleich 1 bleibt. Der Grenzwert darf dabei nicht einfach unter das Integral gezogen werden: Punktweise ist die Grenzfunktion fast überall null, und der einzelne Punkt x = 0 besitzt bezüglich des Lebesgue-Maßes das Maß null.

Typische Approximationen sind die Glockenfunktion

δε(x) = 1/√(2πε) · exp(−x²/(2ε)),

die Lorentzkurve δε(x) = (1/π)·ε/(x²+ε²), die Rechteck- und Dreiecksfunktion sowie δε(x) = (1/(2ε))exp(−|x|/ε). Bei der Glockenfunktion beträgt die Breite ungefähr √ε → 0 und die Höhe ungefähr 1/√ε → ∞; ihre Fläche bleibt 1. Auch die Fresnel-Darstellung 1/√(iπε) · exp(ix²/ε) wird verwendet. Die Sinc-Folge δε(x) = sin(x/ε)/(πx) ist wegen ihrer negativen Werte keine Dirac-Folge nach obiger Definition, konvergiert für Testfunktionen φ ∈ 𝓓 aber dennoch im distributionellen Sinn gegen δ.

Zentrale Rechenregeln und Singularität

Die wichtigste Eigenschaft ist die Ausblende-, Sieb- oder Faltungseigenschaft:

∫₋∞∞ f(x)δ(x−a) dx = f(a),

insbesondere ∫₋∞∞ δ(x−a) dx = 1. Die Delta-Distribution ist linear: ⟨δ,f+g⟩ = f(0)+g(0). Eine Verschiebung in den Punkt a wird mit δ(·−a), auch δa, beschrieben und erfüllt ⟨δ(·−a),f⟩ = f(a).

Für die Skalierung gilt

δ(αx) = 1/|α| · δ(x).

Damit ist δ positiv homogen vom Grad −1. Ihre Maßeinheit ist die reziproke Maßeinheit ihres Arguments: Hat x die Dimension einer Länge, besitzt δ(x) die Dimension 1/Länge.

Hat eine Funktion g nur endlich viele einfache Nullstellen xi, so gilt

δ(g(x)) = ∑ᵢ δ(x−xi)/|g′(xi)|

und damit ∫φ(x)δ(g(x)) dx = ∑ᵢ φ(xi)/|g′(xi)|. Ein Spezialfall ist

δ(x²−α²) = [δ(x−α)+δ(x+α)]/(2|α|).

Die Singularität bedeutet, dass δ nicht durch eine lokal integrierbare Funktion dargestellt werden kann. Der im Artikel angegebene Widerspruchsbeweis verwendet eine glatte Testfunktion φb mit kompaktem Träger [−b,b]. Einerseits wäre ⟨δ,φb⟩ = φb(0) = 1/e. Andererseits könnte man bei angenommener lokaler Integrierbarkeit b so wählen, dass ∫₋bᵇ|δ(x)| dx < 1; daraus ergäbe sich die unmögliche Abschätzung 1/e < 1/e. Der Grund ist, dass die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, für das Diracmaß jedoch nicht.

Distributive Ableitungen und Transformationen

Distributionen können auch dann differenziert werden, wenn keine gewöhnliche Ableitung existiert. Für die Delta-Distribution wird die erste Ableitung durch

⟨δ′,f⟩ = −⟨δ,f′⟩ = −f′(0)

definiert. Allgemein gilt

⟨δ⁽ⁿ⁾,f⟩ = (−1)ⁿf⁽ⁿ⁾(0).

Daraus folgen unter anderem δ′(−x) = −δ′(x) und xδ′(x) = −δ(x). Für glatte Näherungsfunktionen erhält man durch partielle Integration ⟨δε′,f⟩ = −⟨δε,f′⟩; im Grenzwert ε → 0 ergibt sich −f′(0) = ⟨δ′,f⟩.

Die distributive Ableitung der Heaviside-Funktion Θ ist δ. Für Testfunktionen f ∈ C₀∞, die im Unendlichen verschwinden, gilt

⟨Θ′,f⟩ = −∫₀∞ f′(x) dx = f(0) = ⟨δ,f⟩.

Wegen ihres kompakten Trägers besitzt die Delta-Distribution eine Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt δ̂ = 1, insbesondere

𝓕(δ) = 1 und 𝓛(δ) = 1.

Bei der Fourier-Konvention mit dem zusätzlichen Faktor 1/√(2π) ist das Ergebnis stattdessen 1/√(2π). Anschaulich enthält der Dirac-Impuls alle Frequenzen mit gleicher Stärke. Für die um a > 0 verschobene Distribution δa gelten

𝓕(δa) = exp(−iξa), 𝓛(δa) = exp(−ξa).

Die üblichen Integralformeln mit δ(x) sind auch bei diesen Transformationen nur symbolische Darstellungen und keine gewöhnlich definierten Integrale.

Mehrdimensionale Form und Koordinatenwechsel

Im n-dimensionalen Raum wirkt die Delta-Distribution auf Testfunktionen f ∈ C∞(ℝⁿ) durch δ(f) = f(0⃗). Für einen verschobenen Punkt a⃗ lautet die informelle Siebeigenschaft

∫f(x⃗)δ(x⃗−a⃗) dⁿx = f(a⃗).

Die mehrdimensionale Delta-Distribution zerfällt in ein Produkt eindimensionaler Distributionen:

δ(x⃗−a⃗) = δ(x₁−a₁)δ(x₂−a₂)…δ(xₙ−aₙ).

Im dreidimensionalen Raum gilt die besonders in der Elektrodynamik wichtige Darstellung

δ(x⃗−a⃗) = −(1/(4π)) Δ[1/‖x⃗−a⃗‖₂],

wobei Δ der Laplace-Operator ist.

Bei krummlinigen Koordinaten muss die Funktionaldeterminante des Koordinatenwechsels berücksichtigt werden. Für Koordinaten (a,b,c) hat der Vorfaktor γ den Wert

γ = (det(∂(x,y,z)/∂(a,b,c))|r⃗₀)⁻¹.

Er ist also der Kehrwert der am betrachteten Punkt ausgewerteten Funktionaldeterminante. Dadurch bleibt das Integral über ein Gebiet, das den Punkt r⃗₀ enthält, gleich 1. In Kugelkoordinaten gilt

δ(r⃗−r⃗₀) = [1/(r² sin θ)] δ(r−r₀)δ(θ−θ₀)δ(φ−φ₀),

in Zylinderkoordinaten

δ(r⃗−r⃗₀) = (1/ρ) δ(ρ−ρ₀)δ(φ−φ₀)δ(z−z₀).

Praktische Bedeutung

Der Dirac-Stoß dient dazu, die Impulsantwort eines Systems zu bestimmen. In der Akustik besitzt beispielsweise jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Ein idealer Dirac-Impuls wird näherungsweise durch ein Händeklatschen erzeugt; in Materialien kann ein akustischer Prüfhammer verwendet werden. Aus dem gemessenen „Echo“, also der Systemantwort, lässt sich das Verhalten des Raums oder Materials ermitteln.

Technisch erzeugbare Impulse haben eine endliche, aber sehr kleine Halbwertsbreite. Genannt werden etwa 1–100 ns in der Hochspannungstechnik, 10–100 ps in der Hochfrequenztechnik und 10–100 fs in der Pulslasertechnik.

Eine weitere wichtige Anwendung ist die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mithilfe Greenscher Funktionen. Die Delta-Distribution beschreibt dabei eine idealisierte punktförmige Anregung oder Quelle.