Winkelgeschwindigkeit

Grundidee und Definition

Die Winkelgeschwindigkeit ist eine vektorielle physikalische Größe. Sie gibt an, wie schnell sich ein Winkel mit der Zeit um eine Achse ändert. Ihr Formelzeichen ist \vec{\omega} (kleines Omega), die SI-Einheit ist \mathrm{rad\,s^{-1}}, ihre Dimension ist T^{-1}. Bei Rotationen nennt man sie auch Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit. Wenn sich die Richtung der Drehachse im gewählten Bezugssystem nicht ändert, verwendet man oft nur den Betrag \omega=|\vec{\omega}|.

Die Winkelgeschwindigkeit wird durch einen Pseudovektor dargestellt. Er zeigt die Richtung der Drehachse an und gibt zugleich die Schnelligkeit der Rotation an. Seine Richtung folgt der Korkenzieherregel: Dreht man im Sinn der Rotation, zeigt der Vektor in die Richtung, in die sich ein Korkenzieher hineindrehen würde. Der Betrag ist die zeitliche Ableitung des Rotationswinkels \varphi: \omega=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt für eine vollständige Umdrehung in der Umlaufzeit T: \omega=\frac{2\pi}{T}. Eine Änderung von Betrag oder Richtung der Winkelgeschwindigkeit ist eine Folge einer Winkelbeschleunigung.

Zusammenhang mit Bahngeschwindigkeit

Bei einer Drehung beschreibt jeder Punkt eines rotierenden Systems eine Kreisbahn, deren Ebene senkrecht zur Drehachse liegt. Die Bahn- oder Umlaufgeschwindigkeit \vec v eines Punktes hängt vom Abstand r_\perp zur Drehachse ab. Für den Betrag gilt: v=\omega r_\perp. Der Grund ist, dass in der kleinen Zeitspanne \mathrm dt der kleine Weg \mathrm ds=r_\perp\,\mathrm d\varphi=r_\perp\omega\,\mathrm dt zurückgelegt wird.

Liegt der Ursprung O des Koordinatensystems auf der Drehachse, dann lässt sich die Bahngeschwindigkeit als Kreuzprodukt schreiben: \vec v=\vec\omega\times\vec r. Dabei ist \vec r der Ortsvektor des betrachteten Punktes. Der Abstand von der Achse ist r_\perp=r\sin\vartheta, wobei \vartheta der Polarwinkel zwischen Drehachse und Ortsvektor ist. Die gleiche Form gilt allgemein für jeden Vektor, der mitrotiert, zum Beispiel für die Basisvektoren \vec e'_i eines rotierenden Bezugssystems: \frac{\mathrm d\vec e'_i}{\mathrm dt}=\vec\omega\times\vec e'_i.

Abgrenzung und Sehstrahl

Die Winkelgeschwindigkeit darf nicht mit der Kreisfrequenz verwechselt werden, obwohl beide oft mit \omega bezeichnet und in derselben Einheit gemessen werden. Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt die Änderungsrate eines geometrischen Winkels bei einer Drehbewegung. Die Kreisfrequenz beschreibt dagegen bei Schwingungen, wie schnell sich der Phasenwinkel ändert. Sie gehört also zum Ablauf einer Schwingung und hat außer dem mathematischen Zeigermodell nichts mit einer realen Drehbewegung zu tun.

Auch die Richtung eines Sehstrahls von einem Beobachter O zu einem Teilchen P kann eine Winkelgeschwindigkeit haben. In der Ebene ändert nur die tangentiale Komponente der Geschwindigkeit die Richtung des Sehstrahls; die radiale Komponente tut das nicht. Es gilt: v_\perp=\frac{\mathrm d\phi}{\mathrm dt}r=\omega r. Diese Winkelgeschwindigkeit hängt vom gewählten Ort des Beobachters ab.

In drei Dimensionen ergibt sich die momentane Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls aus Radiusvektor \vec r und Geschwindigkeit \vec v: \vec\omega=\frac{\vec r\times\vec v}{|\vec r|^2}. Auch diese Größe ist beobachterabhängig. In Kugelkoordinaten (r,\theta,\varphi) folgt zum Beispiel: \vec\omega=-\dot\varphi\sin\theta\,\hat e_\theta+\dot\theta\,\hat e_\varphi. Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie, etwa die Eigenbewegung.

Darstellung bei speziellen Bewegungen

Bei der Rotation von Körpern kann man die Lage durch Winkel parametrisieren. Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird häufig eine Euler-Winkel-Konvention mit drei aufeinander folgenden Drehungen verwendet: zuerst um die z-Achse des erdfesten Systems, der Gierwinkel; dann um die y-Achse des gedrehten Systems, der Nickwinkel; schließlich um die x-Achse des körperfesten Systems, der Wank- oder Rollwinkel. Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich als Summe der Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen: \vec\omega=\dot\psi\vec u_1+\dot\theta\vec u_2+\dot\phi\vec u_3. Der Punkt über einem Winkel bedeutet Zeitableitung.

In der z-x′-z″-Konvention der Euler-Winkel wird zuerst mit \alpha um die raumfeste z-Achse gedreht, dann mit \beta um die neue x′-Achse und schließlich mit \gamma um die neue z″-Achse. Die Winkelgeschwindigkeit kann dann entweder in der raumfesten Basis oder in der bewegten Basis angegeben werden; beide Darstellungen beschreiben dieselbe Größe.

In Zylinderkoordinaten (\rho,\varphi,z) entsteht bei Änderung des Winkels \varphi die Winkelgeschwindigkeit \vec\omega=\dot\varphi\hat e_z. In Kugelkoordinaten (r,\varphi,\theta) ergibt sich für eine gemeinsame Rotation der Basisvektoren: \vec\omega=\begin{pmatrix}-\dot\theta\sin\varphi\\ \dot\theta\cos\varphi\\ \dot\varphi\end{pmatrix}=\dot\varphi\cos\theta\hat e_r-\dot\varphi\sin\theta\hat e_\theta+\dot\theta\hat e_\varphi.

Tensoren und starre Körper

Eine Drehung von Vektoren kann durch einen orthogonalen Tensor \mathbf Q beschrieben werden. Für \vec x=\mathbf Q\cdot\vec X gilt wegen der Zeitableitung: \dot{\vec x}=\dot{\mathbf Q}\cdot\mathbf Q^\top\cdot\vec x=:\mathbf\Omega\cdot\vec x. Der Tensor \mathbf\Omega heißt Winkelgeschwindigkeitstensor. Er ist schiefsymmetrisch, also \mathbf\Omega^\top=-\mathbf\Omega. Zu jedem schiefsymmetrischen Tensor gehört ein dualer Vektor \vec\omega, sodass für alle \vec x gilt: \mathbf\Omega\cdot\vec x=\vec\omega\times\vec x. Damit verbindet der Winkelgeschwindigkeitstensor die Tensorbeschreibung einer Drehung mit der Vektorbeschreibung der Winkelgeschwindigkeit.

Aus einer rotierenden Vektorraumbasis \vec g_1,\vec g_2,\vec g_3 kann der Winkelgeschwindigkeitstensor direkt berechnet werden. Ist \mathbf G der Tensor, dessen Spalten diese Basisvektoren sind, dann gilt bei gemeinsamer Starrkörperrotation: \mathbf\Omega=\dot{\mathbf G}\cdot\mathbf G^{-1}. Ist die Basis orthonormal, dann ist \mathbf G orthogonal und es gilt \mathbf\Omega=\dot{\mathbf G}\cdot\mathbf G^\top.

Für einen rotierenden starren Körper ist die Winkelgeschwindigkeit eindeutig: Jeder Punkt des Körpers hat denselben Winkelgeschwindigkeitsvektor. Sie ist unabhängig von der Wahl des Bezugspunktes oder der Drehachse. Deshalb ist zum Beispiel die Messung der Gierrate in einem Fahrzeug unabhängig vom Einbauort des Gierratensensors.

Addition und Beispiele

Endliche Drehungen sind im Allgemeinen nicht vertauschbar: Die Reihenfolge kann also wichtig sein. Für Winkelgeschwindigkeiten gilt jedoch die kommutative Addition. Bei infinitesimal kleinen Drehungen in einem Zeitintervall \mathrm dt ergibt sich für einen Ort \vec x: \dot{\vec x}= (\vec\omega_1+\vec\omega_2)\times\vec x. Die Reihenfolge der beiden Winkelgeschwindigkeiten spielt dabei keine Rolle. Deshalb addieren sich Winkelgeschwindigkeiten wie gewöhnliche Vektoren.

Winkelgeschwindigkeit kommt in Physik, Astronomie und Technik häufig vor. Ein Himmelskörper in der Entfernung R, der sich mit der tangentialen Geschwindigkeit v_t senkrecht zur Sehlinie bewegt, zeigt scheinbar die Winkelgeschwindigkeit \mu=v_t/R. Bei Meteoren kann sie bis zu 90° pro Sekunde betragen; sehr nahe Kleinplaneten oder Kometen können sich um einige Grad pro Stunde bewegen. Bei Sternen wird sie in Winkelsekunden pro Jahr angegeben und Eigenbewegung genannt.

Nach dem dritten Kepler’schen Gesetz verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a. Daraus folgt für die Winkelgeschwindigkeiten \omega\propto 1/a^{3/2}, die sogenannte Kepler-Rotation. Nach dem zweiten Kepler’schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Bahn abhängig vom Abstand zur Sonne: Sie ist im Perihel am größten und im Aphel am kleinsten.

Ein Rotor eines Elektromotors mit konstant 3.000 Umdrehungen pro Minute hat die Winkelgeschwindigkeit \omega=2\pi\cdot3000\,\frac{1}{\mathrm{min}}\cdot\frac{1\,\mathrm{min}}{60\,\mathrm s}=314{,}16\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm s}. Bei Flugzeugen und Pkw werden Winkelgeschwindigkeiten oft in Komponenten des körper- oder fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben: Roll- bzw. Wankgeschwindigkeit, Nickgeschwindigkeit und Giergeschwindigkeit.