Kreisfrequenz

Grundidee und Einheit

Die Kreisfrequenz ist die physikalische Größe, die angibt, wie schnell eine Schwingung abläuft. Sie beschreibt nicht die Zahl der vollständigen Schwingungen pro Zeitspanne, sondern den pro Zeitspanne überstrichenen Phasenwinkel. Ihr Formelzeichen ist \omega (kleines Omega).

Eine vollständige Schwingungsperiode entspricht einem Phasenwinkel von 2\pi Radiant; ein Vollwinkel beträgt ebenfalls 2\pi Radiant. Daher gilt für die Frequenz f und die Periodendauer T:

\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.

Die Einheit der Kreisfrequenz ist 1/\mathrm{s} oder \mathrm{rad/s}; dabei gilt \mathrm{rad}=1. Anders als die Frequenz wird sie nicht in Hertz angegeben.

Phasenwinkel und Zeigermodell

Eine harmonische Schwingung kann als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden. Seine Länge entspricht der Amplitude der Schwingung; die Momentanauslenkung ist seine Projektion auf eine Koordinatenachse. Je nach Festlegung entspricht dazu der Realteil oder der Imaginärteil des Zeigers.

Der Phasenwinkel \varphi beschreibt die Stellung des Zeigers. Die Kreisfrequenz ist seine zeitliche Änderungsrate:

\omega=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}.

Der Winkel sollte dabei in Radiant angegeben werden. Bei einer konstanten Kreisfrequenz lautet der Phasenwinkel \varphi=\omega t+\varphi_0. Da eine Umdrehung einer Periode entspricht, ist \omega bei harmonischen Schwingungen stets 2\pi-mal so groß wie f. Bei zeitlich veränderlicher Kreisfrequenz spricht man von der momentanen Kreisfrequenz.

Darstellung harmonischer Schwingungen

Eine harmonische Schwingung lässt sich mit der Kreisfrequenz allgemein schreiben als

x(t)=x_0\,\sin(\omega t+\varphi_0).

Dabei ist x_0 die Amplitude und \varphi_0 der Anfangsphasenwinkel. Die Kreisfrequenz wird oft bevorzugt, weil sich Formeln mit trigonometrischen Funktionen kompakter schreiben lassen. Beispielsweise lautet eine Cosinus-Schwingung y=\hat{y}\cdot\cos(\omega t) statt y=\hat{y}\cdot\cos(2\pi f\,t).

In der Elektrotechnik kann dieselbe Schwingung als komplexer Zeiger dargestellt werden:

\underline{x}(t)=x_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t+\varphi_0)}=x_0(\cos(\omega t+\varphi_0)+\mathrm{i}\sin(\omega t+\varphi_0)).

Der Zusammenhang mit Sinus und Kosinus folgt aus der Eulerschen Formel.

Kenn- und Eigenkreisfrequenz

Schwingfähige Systeme werden durch die Kennkreisfrequenz \omega_0 und die Eigenkreisfrequenz \omega_d beschrieben. Ein ungedämpftes, frei schwingendes System schwingt mit \omega_0. Ein gedämpftes System ohne äußere Anregung schwingt mit \omega_d, die stets kleiner als \omega_0 ist. In der Mechanik heißt die Kennkreisfrequenz auch ungedämpfte Eigenkreisfrequenz.

Für einen elektrischen Schwingkreis mit Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C gilt:

\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.

Für ein Federpendel mit Federsteifigkeit c und Masse m gilt:

\omega_0=\sqrt{\frac{c}{m}}.

Mit der Abklingkonstante \delta=R/(2L) beziehungsweise \delta=d/(2m) ergibt sich:

\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}.

Komplexe Kreisfrequenz und Winkelgeschwindigkeit

Die komplexe Kreisfrequenz ist s=\sigma+\mathrm{i}\,\omega. Sie erweitert die Darstellung \underline{x}(t)=x_0\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} zu \underline{x}(t)=x_0\,\mathrm{e}^{st}. Der Realteil \sigma beschreibt dabei das Zu- oder Abnehmen der Amplitude: \sigma=0 steht für eine konstante harmonische Schwingung, \sigma<0 für eine gedämpfte und \sigma>0 für eine angeregte Schwingung. Bei einer gedämpften Schwingung gilt \sigma=-\delta und \omega_d ist ihre Eigenkreisfrequenz. Die komplexe Kreisfrequenz wird unter anderem in der erweiterten symbolischen Methode der Wechselstromtechnik und bei der Laplacetransformation verwendet; dort ist s eine Variable der komplexen Frequenzebene.

Die Kreisfrequenz kann durch die Projektion eines rotierenden Körpers veranschaulicht werden und hat dann denselben Zahlenwert wie dessen Winkelgeschwindigkeit. Inhaltlich sind beide Größen aber verschieden: Die Kreisfrequenz beschreibt die abstrakte Änderung des Phasenwinkels einer Schwingung in der komplexen Ebene, während die Winkelgeschwindigkeit die Änderung eines physikalischen Winkels an einem realen Körper pro Zeit beschreibt.