Rotation (Physik)

Grundidee der Rotation

Rotation, auch Rotationsbewegung, Drehung, Drehbewegung oder Gyralbewegung, ist in der klassischen Physik die Bewegung eines Körpers um eine Rotationsachse. Der Begriff bezeichnet sowohl eine einmalige Drehung um einen bestimmten Winkel als auch eine fortlaufende Bewegung mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit. Die Achse muss nicht durch den Massenmittelpunkt oder Schwerpunkt verlaufen. Verläuft sie durch den Schwerpunkt, spricht man von Eigenrotation. Ein Spezialfall ist die gleichmäßige Kreisbewegung.

Rotation gehört zu Mechanik und Kinematik. In der Astronomie wird sie unter anderem bei Veränderungen der Erdrotation sowie bei Bewegungen von Sternen und Galaxien betrachtet. Anschauliche Alltagsbeispiele sind Kreisel und Karussell.

Alle Punkte der Rotationsachse bleiben an ihrem Ort und sind Fixpunkte. Jeder andere Punkt bewegt sich mit festem Abstand von der Achse auf einem Kreis, der senkrecht zur Achse liegt. Alle Punkte drehen sich dabei um denselben Winkel oder mit derselben Winkelgeschwindigkeit. Deshalb bleiben die Abstände zwischen den Punkten des Körpers und die Winkel zwischen Verbindungslinien unverändert.

Parameter zur Beschreibung

Eine endliche Rotation ist eindeutig durch einen Fixpunkt und einen Vektor bestimmt. Dieser Vektor verläuft parallel zur Rotationsachse; seine Länge gibt den Drehwinkel an. Bei einer fortschreitenden Rotationsbewegung ist der entsprechende Vektor die Winkelgeschwindigkeit.

Eine Rotation um einen bestimmten Punkt eines festgehaltenen Bezugssystems kann daher durch die drei Komponenten dieses Vektors beschrieben werden. Eine alternative Beschreibung erfolgt durch die drei Eulerwinkel.

Analogie zur Translation

Zwischen Translations- und Rotationsbewegung bestehen weitreichende Analogien. Der Ortsvektor r⃗ der Translation entspricht dem Drehwinkel φ beziehungsweise der Drehmatrix A. Die Geschwindigkeit ist v⃗ = ṙ⃗; bei der Rotation lautet die Winkelgeschwindigkeit ω⃗ = ψ̇u⃗₁ + θ̇u⃗₂ + φ̇u⃗₃. Die Beschleunigung ist a⃗ = v⃗̇ = r⃗̈, die Winkelbeschleunigung α⃗ = ω⃗̇.

Der skalaren Masse m entspricht der Trägheitstensor Θ; in Sonderfällen kann dieser durch das skalare Trägheitsmoment I ersetzt werden. Für Kräfte und Drehmomente gelten F⃗ = m a⃗ beziehungsweise M⃗ = r⃗ × F⃗. Der Impuls p⃗ = m v⃗ entspricht dem Drehimpuls L⃗ = Θω⃗.

Der Kraftstoß ist Δp⃗ = ∫F⃗ dt, der Drehstoß ΔL⃗ = ∫M⃗ dt. Die kinetische Energie der Translation lautet Eₖᵢₙ = ½m v⃗² ≡ ½v⃗·p⃗; die Rotationsenergie ist Eᵣₒₜ = ½ω⃗·Θω⃗. Arbeit wird bei der Translation als W = ∫F⃗·ds⃗ = ∫F⃗·v⃗ dt und bei der Drehbewegung als Dreharbeit W = ∫M⃗·dφ⃗ = ∫M⃗·ω⃗ dt berechnet. Die Leistungen sind P = Ẇ = F⃗·v⃗ und bei der Drehbewegung P = Ẇ = M⃗·ω⃗.

Allgemein verknüpft der Impulssatz die Kraft mit der Impulsänderung: p⃗̇ = F⃗. Bei der Rotation gilt der Drallsatz L⃗̇ = M⃗. Für konstante Masse folgt m a⃗ = F⃗; bei konstantem Trägheitsmoment gilt Iα⃗ = M⃗. Wegen dieser Entsprechungen kann ein Satz über Translation durch Ersetzen der jeweiligen Größen in einen Satz über Rotation übertragen werden.

Rotation starrer Körper

Die Orientierung eines starren Körpers im Raum wird eindeutig durch drei skalare Winkelangaben beschrieben. Zwei Winkel legen die Richtung der Rotationsachse fest, der dritte gibt an, wie weit der Körper um diese Achse gedreht ist.

Bei einer freien Drehbewegung gibt es mindestens zwei stabile Drehachsen durch den Massenmittelpunkt. Stabil sind die Hauptträgheitsachsen mit dem kleinsten oder dem größten Trägheitsmoment. Sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden, ist die Drehung um die Achse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment labil: Schon kleine Störungen können starke Torkelbewegungen auslösen, wie beim Dschanibekow-Effekt.

Eine Hauptträgheitsachse ist eine Achse, um die sich der Körper ohne aus der Rotation entstehende Drehmomente drehen kann. Wird ein starrer Körper um eine andere Achse gedreht und nicht durch Lager gehalten, entstehen Momente, die seine momentane Rotationsachse verändern wollen. Der Körper beginnt dann zu taumeln.

Bei einer kräftefreien freien Rotation bleibt der Drehimpuls erhalten. Er ist im Allgemeinen nicht kollinear, also nicht genau parallel, zur Winkelgeschwindigkeit. Deshalb verändert sich die Drehachse laufend. Umgangssprachlich spricht man von Torkeln oder Eiern; je nach Art der Achsenbewegung werden auch Taumeln der Rotationsachse, sekundärer Achsfehler, Präzession oder Nutation verwendet.

Ein Kreisel ist unabhängig von anderen Einflüssen quasi-integrabel, wenn sehr wenig oder sehr viel Energie im Vergleich zur potentiellen Energiedifferenz zwischen unterem und oberem Totpunkt in seiner Rotation steckt. Bei nicht integrablen Typen treten die chaotischsten Bewegungen unabhängig von der Form auf, wenn die kinetische Energie gerade ausreicht, den oberen Totpunkt zu erreichen. Die genauere Beschreibung erfolgt mit den eulerschen Kreiselgleichungen. In bestimmten Spezialfällen lassen sich diese Gleichungen analytisch lösen; dann verlaufen die Trajektorien, insbesondere die Winkelgeschwindigkeiten, periodisch.

Der Fall von Euler und der Fall von Lagrange

Im Fall von Euler ist ein Kreisel genau in seinem Schwerpunkt aufgehängt. Der Fall ist unabhängig von der Form des Kreisels integrabel, weil es mehr Erhaltungsgrößen als Freiheitsgrade gibt. Erhalten bleiben die Energie und die Drehimpulse bezüglich aller drei Raumrichtungen im Inertialsystem.

Ist die Masse rings um die Drehungsachse symmetrisch verteilt, heben sich die Schwungkräfte beziehungsweise Zentrifugalkräfte der Massenteilchen gegenseitig auf. Auf die Achse wirken dann keine aus der Rotation entstehenden Kräfte. Eine solche freie Achse ist eine Hauptträgheitsachse. Erfolgt die Drehung nicht um eine freie Achse, entstehen Momente der Zentrifugalkräfte. Diese stehen im dynamischen Gleichgewicht mit Momenten der Euler-Kräfte, die durch die Bewegung der Drehachse entstehen. Anwendungen des eulerschen Kreisels sind Kreiselkompasse und gyroskopische Steuersysteme.

Im Fall von Lagrange sind die Trägheitsmomente bezüglich zweier Hauptachsen gleich, wie es beispielsweise bei radialsymmetrischen Körpern vorkommt. Es gibt drei physikalische Erhaltungsgrößen: die Energie, den Gesamtdrehimpuls und den Drehimpuls bezüglich der z-Achse in Richtung des Kraftfeldes. Zusätzlich gibt es eine vierte, rein geometrische Erhaltungsgröße: Relativ zum rotierenden Körper ändert sich die Richtung des Kraftfeldes zwar ständig, der Richtungsvektor besitzt aber immer dieselbe Länge.

Eine freie Achse versucht aufgrund der Trägheit, ihre Richtung im Raum beizubehalten. Je größer Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit sind, desto stärker widersteht der Körper einer Kraft, die diese Richtung ändern will. Deshalb fällt ein ausreichend schnell rotierender Kreisel trotz schiefer Achse nicht um; Entsprechendes gilt für Räder und Münzen, die auf ihrem Rand rollen oder um ihren vertikalen Durchmesser tanzen.

Die störende Kraft bewirkt stattdessen, dass die Achse senkrecht zur Kraftrichtung ausweicht und sich langsam auf der Oberfläche eines Kegels bewegt, ohne ihre Neigung gegenüber der Horizontalen zu ändern. Diese Bewegung wird als Nutation bezeichnet. Ein typischer Spielzeugkreisel mit festgehaltenem Aufsetzpunkt am Boden verwirklicht den Fall von Lagrange. Auch Fahrrad- und Motorradräder verhalten sich im Schwerefeld wie Kreisel und tragen durch ihr Bestreben, den Drehimpuls dem Moment der Gewichtskraft anzugleichen, zur Stabilisierung und Spurführung bei.

Die Fälle von Kowalewskaja und Goryachew-Chaplygin

Der Kowalewskaja-Kreisel besitzt bezüglich zweier Hauptachsen gleiche Trägheitsmomente. Das Trägheitsmoment bezüglich der dritten Hauptachse ist genau halb so groß. Seine Erhaltungsgrößen sind die Energie, der Gesamtdrehimpuls und ein komplexer mathematischer Ausdruck, für den es keine allgemeinverständliche Entsprechung gibt.

Der Fall von Goryachew-Chaplygin ist eine Abwandlung des Kowalewskaja-Falles. Statt eines halb so großen dritten Trägheitsmoments wird ein auf ein Viertel reduziertes Trägheitsmoment gefordert. Eine dritte physikalische Erhaltungsgröße existiert in diesem Fall jedoch nur, wenn der Drehimpuls in Richtung des Kraftfeldes anfangs verschwindet. Diese Drehimpulskomponente bleibt dann erhalten und ist dauerhaft null.